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《数学地图》，是量子杂志Quanta Magazine的一个（可视化）项目，2020-2-13上线。 文字：Kevin Hartnett 设计和可视化：Kim Albrecht和Jonas Parnow 译者：zzllrr小乐 2020-10-27 于微信公众号与百家号同步发布 译者注：原文有大量可视化交互效果，因各平台限制，只能暂以截图形式展示，但图片中文字内容也尽可能被汉化，以飨读者。另外原文介绍有些数学概念时无图，译者补上自制图，以便读者理解。由于图文篇幅较长，分成【1】【2】两篇文章，本文是第【1】篇。 这是当今的数学地图，它是数学家实践的数学。 从简单的起点（数字，形状，变化）开始，地图便延伸成交织在一起的思想卷须。遵循它，您将了解素数如何与几何连接，对称如何处理无穷大问题。 尽管地图不一定是完整的-数学实在太庞大了，无法适合任何一张地图-我们希望为您提供有关使这些领域活跃的主要问题和争议以及潜入其中的概念性工具的风味。 没有正确或错误的探索方式。您可以从一个主题到另一个主题直线走动，或四处寻找引人注目的东西。 正如爱因斯坦曾经写过的那样，如果数学是逻辑思想的诗歌，那么我们希望以此来赞赏它所描述的所有美。向下滚动开始。
编辑搜图 数字Number 数字 数字是最基本的度量单位。它们的特性使人们着迷了数千年，甚至更长。今天，数论在多个方向上分叉。
编辑搜图 数字原子——质数 算术原子 质数是大于1的整数，除1和它们本身以外，不能被任何整数整除。它们就像数论的原子一样-您可以使用质数来生成其他任何数。 在公元前三世纪，欧几里得证明存在无限多个素数。他辩称，如果我们将所有已知质数相乘并加1，那么这个新数字N是质数，或者N可以被我们原始质数列表中没有的数-新质数整除。事实证明，这是无限的，但它从技术上来讲，是有不足的：它没有告诉我们有关素数的分布，也没有提供调查有关素数的更多问题的方法。 今天，数学家对了解素数出现的频率很感兴趣。
编辑搜图 欧拉数迭代 进入素数的窗口 在18世纪，莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）使用微积分的函数研究了素数。首先，他使用总和1 +½+⅓+¼+⋯证明必须有无限多个质数。然后他和许多数学家开始使用其他无穷大和来探索素数的其他性质。 例如，考虑“ zeta函数” Z（s）的总和=¹/₁ˢ+½ˢ+⅓ˢ+¼ˢ+⋯。当s = 1时，总和是无限的，但是当s大于1时，总和是有限的。欧拉的工作用来证明Z接近1时Z爆炸的速率可以为您提供有关质数发生频率的信息。 1859年，伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）通过考虑s可能是复数的情况（即，既包含实部又包含“虚部”的数字）的情况，极大地扩展了该方法，这意味着它包括–1的平方根。（这些数字在开始时就被认为是可疑的，但是它们对于解决问题始终有用。）向具有复变量的函数的转移创建了一种强大的技术，数学家可以用它来进攻关于质数的更深层次的问题。 素数分析 数论学家创建实数或复数变量的函数，称为解析函数，使他们能够研究有关素数的问题。例如，他们可能会问：在很短的间隔内大约有多少个素数？或自然数可以以三种方式表示为三个平方之和？解析函数具有可解决这些问题的属性。 该领域的历史可以追溯到19世纪狄利克雷Peter Gustav Lejeune Dirichlet的作品。Dirichlet研究了“算术级数”，即以自然数A开头并加上自然数B的倍数得到的数字列表。例如，当A = 4且B = 7时，我们得到：4，11，18 ，25等。狄利克雷Dirichlet使用解析函数证明，只要A和B没有任何共同的质数因子（在我们的示例中），这种算术级数就必须包含无限多个质数。
编辑搜图 黎曼Zeta函数 黎曼假设 黎曼Bernhard Riemann注意到素数的分布与zeta函数Z（s）中复数s的行为密切相关。通过使用这个新的Riemann zeta函数，他可以能够研究比Dirichlet关于素数分布的更困难的问题。 另外，Riemann猜想，当s的实部恰好等于1/2时，方程Z（s）= 0的唯一有趣的解就会出现。如果这是真的-一个被广泛认为是纯数学中最重要的未解决问题的问题-我们不仅会对质数的分布有很多了解，而且也将解决数论中的大量其他问题。
编辑搜图 黎曼猜想 新数字系统 在17世纪，数学家发现了一种奇怪的二分法：如果忽略2，则两个平方之和的质数（例如73 = 8²+ 3²）总是比4的倍数大1，而不是两平方和的质数（例如7和11）总是比4的倍数少1。这称为二平方定理。但是为什么会这样呢？使用更大的数系中的算术版本可以理解这些问题。
编辑搜图 复数计算 一个更大的数系 在19世纪上半叶，卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）发明了一种新的数字系统。它类似于普通整数的一种形式，但针对复数，因为“高斯整数”包含“虚数”单位i，它是-1的平方根。例如：2 + 3i是高斯整数。 高斯整数帮助我们了解普通数系统中素数的性质。例如，当写为高斯整数时，可以表示为两个平方之和的任何普通素数都不再是素数。可以将数字73分解为（8 + 3i）（8 − 3i）。然而，不是两个平方之和的普通素数仍然是高斯整数的素数，7和11都不能分解成较小的部分作为高斯整数。这种关系是一个例子，说明了普通数字系统中质数的属性如何受位于较大数字系统中的那些数字的行为支配。
编辑搜图 复数 素因子问题 高斯整数具有一个重要的属性：每个（非零）高斯整数只能以一种方式分解。该属性称为唯一质数分解，事实并非对所有数字系统都成立。例如，在类似于高斯整数的数字系统中，我们用−5的平方根替换i，唯一素数分解失败。例如，6等于2×3和（1 + √−5）（1 − √−5）。这次失败破坏了在安德鲁·威尔斯（Andrew Wiles）1994年成功证明费马最后定理之前的许多尝试。 更小的数系 在模算术中，我们选择一些正数m作为底数或模数。我们声明两个普通整数在除以m后有相同的余数时被视为相同的（模m）。例如，5和13是相同的（模4）：两者的余数均为1，因此等于1。 普通素数的属性（例如它们是否为两个平方之和）可以通过不同的模数系统之间令人惊讶的关系来解释。 例如，考虑素数5，是两个平方之和。在以4为模的数字系统中，它等于1。 现在考虑模5数字系统。在这个系统中，-1等于4，这是一个完全平方。 实际上，在模数为质数且可以表示为两个平方之和的任何数字系统中，-1等于完全平方。在模数是质数且不是两个平方之和的模数系统中，-1永远不是一个完全平方。
编辑搜图 22模10等于2 素数倒数 令人惊讶的事实是，您可以通过了解p在模数为4a的模数系统中的行为方式，来预测非零整数a是否等于一个奇质数p模的完全平方。高斯证明了任何p和任何a的一般关系，从而建立了现在所谓的二次互反定律。 中国剩余 不同的模数系统通常彼此之间没有任何特殊关系。中国剩余数定理表达了这一事实。要理解该定理，首先选择两个没有共同素因子的自然数（a和b，互素）。定理说，我们总是可以找到同时具有模a任何值和模b任何值的自然数。例如，对于a = 14和b = 9，有一个自然数是模14为6且模9为5（例如104），有一个自然数是模14为13且模9为1（例如55）。非正式地说，中国余数定理说，模数a和模数b的系统彼此独立工作。 除法问题 有些皱纹将模数系统与整数区分开。在模算术中，有时两个非零数的乘积为0。例如，6和5均模10非零，但是它们的乘积30模10等于0。当模数为合数 （非素数）时，会发生相同的现象。 但是，在任何以质数p为模的模数系统中，皱纹都会消失-两个非零数的乘积永远不会为0。这具有重要的意义。模p数系中的每个非零数字在同一数系内都有一个倒数（该数字与其倒数的乘积为1）。例如，以7为模，4的倒数是2，因为2×4 = 8，而8模7为1。倒数对于具有良好除法概念的数字系统至关重要。
编辑搜图 34模10等于4 有限域 普通算术包括加法，减法和乘法，符合熟悉的代数规则，例如交换律x + y = y + x和xy = yx以及分配律x（y + z）= xy + xz。具有所有这些特征的任何代数系统都称为环。如果它也有一个很好的除法概念（非零数），我们称这个代数系统为一个域。 整数构成一个环，但不是一个域，因为在仅有整数的世界中除法是不可用的。例如，3÷6 = 0.5，它是整数之外的数字。任何以合数为模数的模数系统也会形成一个环，而不是一个域。但是有理数，实数和复数系统是域，而整数对任何素数p取模的有限数系都是域。模p算术的有限域在代数数论中无处不在。 代数几何 数学家对解决“丢番图方程”（具有x² + y²= 1的整数系数的多项式方程）的有理数（可以表示为分数的数）特别感兴趣。这些方程式以丢番图的名字命名，因为他在公元三世纪的亚历山大就对此研究。 勾股（毕达哥拉斯）方程x² + y² = z² 是丢番图方程的一个例子。为了理解其整数解，数学家使用了几何思想。方法是，从x² + y² = z²开始，将两边除以z²，得到（x / z）² +（y / z）² =1。将其重写为u²+ v² = 1的形式。圆上的每个点都由坐标（u，v）定义。如果我们需要勾股方程的整数解，则需要在圆上找到有理点。这样，我们可以用一个公共分母z来写它们，即u = x / z和v = y / z，从而为勾股方程重构出一个整数解（x，y，z）。
编辑搜图 单位圆上的有理点 有一种几何方法可以找到这些点。例如，固定点P =（-1，0）。画一条过该点和圆上一点的直线。当直线的斜率是有理数时，第二点也具有有理坐标。例如，过点（-1，0）斜率为½的直线过单位圆上的点（3/5，4/5）。这些坐标对应于（3、4、5）勾股三元组。这样，几何可为所有勾股三元组提供公式。 算术几何 早期，数学家使用几何推理来理解勾股三元组。可以将相同的几何方法应用于更广泛的一类二次方程（最大指数等于2的方程），例如2x² + 3y²= 5z²。这种更广泛的应用是算术几何的起点，算术几何使用几何来研究多项式方程的有理和整数解。 域上的几何 在将实数替换为“域”的情况下，许多数学概念都可以适用。这样的数字系统包括复数和模算术（模质数时）。这种转换将“几何直觉”传送到全新的领域。 例如，在1922年，路易斯·莫德尔（Louis Mordell）猜想，某些类型的多项式方程式（阶数大于3）仅具有有限多的有理解。高于3的重要性的意义可以通过拓扑结构来解释，1983年由Gerd Faltings法尔廷斯（获得菲尔兹奖章）获得Mordell猜想的证明就充分利用了代数几何。 几何和素数 1949年，André Weil韦伊提出了关于有限域上的代数几何的猜想。这激发了亚历山大·格罗腾迪克（Alexander Grothendieck）在1960年代的革命性工作，使应用于复数的几何技术，与应用于有限域的几何技术联系起来。Grothendieck的见识催生了在算术几何学研究中使用拓扑和微分几何（多变量微积分的几何化身）的许多新方法。它还为诸如黎曼假设之类的问题提供了新的见解。 对于使用有限域定义的几何对象，Weil发现了如何定义大型的zeta函数新类。这些是Bernhard Riemann于1859年发现的zeta函数的类似物，这引发了著名的未解决的Riemann假设。韦伊在有限域上的几何背景下推测了黎曼假设的新版本-几何黎曼假设。格罗腾迪克（Gothendieck）和皮埃尔·德利涅（Pierre Deligne）的工作证明了韦伊的猜想（他们各自获得了菲尔兹奖章）。数论的许多当代进展都使用了韦伊几何版本的黎曼假设的推广。 椭圆曲线 某些三次方程的图形形成“椭圆曲线”。就像数学家使用几何推理找到二次勾股方程的有理解一样，他们也可以使用类似的椭圆曲线方法。通过考虑经过两个已知点的直线与曲线的交叉点，他们可以在椭圆曲线上找到新的有理点。
编辑搜图 椭圆曲线有理点 椭圆曲线y²= x³ – 4x +1上的哪些点是有理的（意味着它们的值可以表示为分数）？要找到它们，请通过成对的有理点画线。线相交的所有其他点也将是有理的。 有关特定丢番图方程解的许多重要问题都简化为关于椭圆曲线性质的问题。最著名的莫过于椭圆曲线是安德鲁·威尔斯（Andrew Wiles）证明费马最后定理的的核心。它们在BSD（Birch和Swinnerton-Dyer）猜想中也起着核心作用，这是克莱数学研究所的百万美元千禧年问题之一。 形状
编辑搜图 在几何学以及与拓扑密切相关的领域，数学家研究形状。这些形状可以具有任意维度-一张纸的两个维度，日常生活的三个维度，弦论的11个维度等等。在拓扑中，形状称为流形，包括一维圆，球形的二维表面或弦论中发现的难以想象的六维卡拉比-“ Calabi-Yau”流形。如果在流形上放置一些其他结构以测量诸如距离之类的概念，则拓扑将变为几何。
编辑搜图 球面
编辑搜图 环面
编辑搜图 三叶结 低维拓扑 自19世纪以来，数学家就已经了解了一维和二维流形。在20世纪中叶，一个令人惊讶的发现是，具有五个或更多个维度的形状也相对容易分析-这些额外的维度为数学家提供了更大的回旋余地，这使他们可以运用更多的技术。拓扑中许多最困难的开放问题都在维度3和维度4中，在这方面，数学家仍在寻求更好的理解，以了解如何区分流形以及如何理解区分它们的特征。 如何区分形状 您如何展示两个流形不能相互转换？数学家寻求不变量-即使形状变形了也不变。这是一个简单的示例：以一个球体为例。现在在其上绘制三角形，以便球体的整个表面都铺有三角形。计算角的总数，减去边的数量，然后加上面的数量。如果对球体执行此操作，或者在拓扑上等效于该球面的任何形状，则得到2。但是对于甜甜圈或环面，则得到0。球面与环面之间的区别证明了这些形状 在拓扑上是不同的。
编辑搜图 8面体
编辑搜图 20面体
编辑搜图 32面体
编辑搜图 80面体 三角剖分猜想 在20世纪初，数学家提出了三角剖分猜想，该猜想要求：是否可以将任意维度的任意形状均匀地分成三角形部分？到1950年代，他们已经证明了三角剖分猜想适用于一维，二维和三维。在1980年代，他们发现了反例，在四维反驳了它。2013年，数学家Ciprian Manolescu发现了一个新的不变量，并用它证明了三角剖分猜想在维度5和更高维度上是错误的。 |
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