【原】球坐标系中的梯度算符

梯度算符在球坐标系中的表达式

在物理学中，很多问题具有球对称性，这时，使用球坐标系就比较方便。要用球坐标系表示梯度算符，必须把直角坐标系的单位矢量和偏导数转换成球坐标系的单位矢量和偏导数。为了做到这一点，需要写出位置矢量的各个分量之间的变换关系。空间中任意一点的位置矢量的直角坐标分量为，对应的球坐标分量为，而的方向角则为，直角坐标、球坐标与方向角之间的变换关系为：

              (A)

变换关系(A)式的逆变换为：

                     (B)

先讨论单位矢量之间的变换关系。由于与同向，因此，的方向角也是，由此得到：

          (1)

容易看出，的方向在平面内，相对于转过了一个直角，也就是说，与极轴的夹角。显然，在平面上的投影与的投影重叠。结合以上性质，参照的直角坐标表达式，很容易就得到在直角坐标系中的表示：

         (2)

有了和的表达式，利用右手系的特点马上可以得到的表达式：

                (3)

由、和的直角坐标表达式不难反解出、和的球坐标表达式。先用(1)式和(2)式做组合运算得到

              (4)

然后用(4)式和(3)式做组合得到

        (5)

再将(4)式和(3)式组合起来得到

        (6)

最后用(1)式和(2)式做组合得到

                     (7)

接下来讨论偏导数之间的变换关系。由复合函数的偏导数规则可以得到：

               (8)

根据变换关系(A)和(B)可以得到：

      (9)

联合(5)～(9)式

把这个等式展开，按照球坐标系的单位矢量合并同类项，整理后得到：

利用梯度算符在球坐标系中的表达式，很容易推导出上一节中几个具有球对称性的函数的梯度：