【原】δ-函数

在物理学中，经常要用到一个具有特殊性质的函数，称之为δ-函数，我们以一个简单的例子引入这个函数。

考虑这样一个简单的矩形函数：

显然，这个函数的函数值曲线与x轴所围成的图形的面积

现在，让这个矩形图形的底边长对称地向坐标轴的原点趋近，同时让函数值随之增加，但保持函数值曲线下的面积不变。显然，当底边长趋于零时，为了保持函数值曲线下的面积不变，函数值必须趋于无穷大。在这种情况下，除了原点之外，其余位置的函数值等于零。我们把具有这种性质的函数称为δ-函数，并用δ(x)标记：

由δ-函数的定义马上可以得到这个函数的一个重要性质：

其中的积分区间[a,b]是跨越原点的一个任意区间，这样的一个区间当然也包括无穷区间。

可以将由以上方式定义的以原点为对称点的δ-函数推广到以任意点为对称点的δ-函数：

其中的积分区间是跨越对称点的一个任意区间。由于原点与数轴上的任意点之间的差别仅仅是做了一个在数轴上的平移而已，相应的函数具有类似的性质，因此，下面我们只讨论以原点为对称点的δ-函数，所得到的结论完全可以直接推广到一般情况。

在物理学中，经常要用到一个函数，叫做阶梯函数：

由于这个函数在原点不连续，它的一阶导数在原点一定是奇异的：

另一方面，如果我们对这个一阶导数做一个跨越原点的积分：

结果发现，阶梯函数的一阶导数具有δ-函数的性质：。

利用δ-函数和阶梯函数的上述基本性质，可以用明确的表达式表示一个不连续函数及其一阶导数。考虑一个在数轴上的某一点处不连续的函数：

可以用阶梯函数把这个函数改写成

对这个函数求一阶导数：

在利用数学公式进行理论推导的过程中，按这样的方式处理不连续函数是比较方便的。

除了上述通过定义给出的基本性质之外，δ-函数还有一些有用的性质。

1.从δ-函数的定义很容易看出，δ-函数是一个偶函数。由此得到以原点为区间端点的积分：

其中a<0，b>0。

2.对任意一个连续函数，它与δ-函数的乘积除了在原点上可能不等于零之外，在其他的位置都等于零，因此：

3.把上述性质以及它的推导方法推广到对称点不在原点上的δ-函数，就可以得到：

4.用对称点在另一个点上的δ-函数代替上面的连续函数，又可以得到：

5.如果将δ-函数中的变量乘以一个常数，根据以下积分

这就是说，|c|δ(cx)具有δ-函数的性质，因此

一维δ-函数的一个直接推广就是三维δ-函数：

三维δ-函数的性质可以从一维δ-函数的性质直接得到，这里只给出几个常用的性质：

其中的积分区域是包围对称点的一个任意空间区域。