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我们知道，矢量函数沿着闭合路径的积分反映了矢量场的场线的基本特征：如果场线是非闭合的曲线，对应的矢量函数沿闭合路径的积分就恒等于零；如果场线是闭合曲线，对应的矢量函数沿闭合路径的积分则有可能不等于零。然而，矢量函数沿闭合路径的积分的这些性质只是场线的基本特征在一条闭合路径上的积累效应。更多的时候，我们希望知道这种特征在空间中的任意一点上是如何表现出来的。 
设想在空间中取一条闭合路径，我们在这条路径上对所研究的矢量场A做积分。为了数学推导简便起见，不失一般性地假设，这条闭合路径由一个棱边平行于坐标轴的矩形的四条边围成。比如说图中的abcOa这条闭合路径，矢量场在这条闭合路径上的积分可以被分解成在四条直线段上的积分之和：按照我们对积分路径方向的选择，等式右边的四个积分中的线元可以分别写成 。于是，闭合路径上的积分 最后一个等号之所以成立，是因为，对我们选择的路径，由它围成的平面的面元矢量 。
在上面的推导中，我们利用梯度算符给矢量函数定义了一种新的运算。这种新的运算从形式上看与两个矢量做矢量积运算相似：
称之为矢量函数的旋度运算，简称矢量的旋度。在上面的公式中，为了书写简便，我们引入了一个偏导数的简写符号：在偏微分符号的右下角写上一个下标，代表对该下标做一阶偏导数。
我们还可以选择图中画出来的另外两条闭合路径aOefa和cdeOc对矢量函数做环路积分。通过与上述相似的数学推导，我们发现，一个矢量函数在这两条闭合路径上的环路积分最终都能够转化成这个矢量函数的旋度在对应环路所围的平面上的通量积分。对于一个空间指向为任意的矩形，只要通过适当的坐标平移与转动，就能够使这个矩形的四条边与新的坐标系的坐标轴平行。因此，不难把上面得到的结果推广到空间指向为任意的矩形闭合路径上去。如果闭合路径是一条空间曲线，并且以它为边界的曲面是一个任意的曲面，我们可以把这个曲面看做由无数个各种空间指向的无穷小的矩形平面拼接而成。在每一个无穷小的矩形面的边上对矢量函数做环路积分，再把这无数个无穷小的环路积分加起来。每一个无穷小的环路积分都等于矢量函数的旋度对这个无穷小的环路所围的矩形平面的通量积分，对所有无穷小矩形平面的通量积分加起来就等于对整个曲面的通量积分。另一方面，对于相邻的两个矩形平面，它们紧挨着的两条边的路径走向相反，积分结果相互抵消。比如说，在上面画出来的图形中，沿矩形abcOa的其中一条边Oa的积分就与沿矩形aOefa的其中一条边aO的积分相互抵消。因此，所有无穷小闭合路径上的积分加起来，最终的结果就只剩下沿着闭合空间曲线的那些线段上的积分不为零，它们加起来的结果正好等于对闭合空间曲线的积分。于是，矢量函数对任意闭合空间曲线的积分等于这个矢量函数的旋度对以这条闭合曲线为边界的任意曲面的通量积分：
从斯托克斯定理立刻可以看出，如果矢量函数的旋度在某一点处不等于零，那么，这个旋度在该点的一个无穷小邻域内的通量积分就有可能不等于零，除非所选择的面元是刚好垂直于旋度的平面。这意味着矢量函数绕着围绕该点的一条无穷小的闭合路径积分的结果也有可能不等于零。根据上一节的讨论，从物理上看，这表明在该点处有产生这个矢量场的源；从数学上看，在该点的一个无穷小邻域内，场线是围绕着这个点的闭合曲线。如果矢量函数的旋度在某一点处等于零，那么，在该点的一个无穷小邻域内，矢量函数绕着一条无穷小的闭合路径积分的结果也等于零。这表明在该点的一个无穷小邻域内，场线是非闭合曲线。
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