【原】群的基本概念

群论是现代物理学广泛应用的一个数学工具。在现代数学的各个分支领域中，群论属于最抽象的一个数学分支，但是，它的基本概念实际上隐藏在最简单的数学问题中。让我们对这些问题做一个简单的回顾。

当我们刚刚开始学习数学的时候就已经认识到，两个整数相加依然是一个整数；三个整数相加时，可以先把头两个整数加起来，也可以先把后两个整数加起来，无论怎样加，结果都是一样的；存在一个叫做0的数，任何整数与它相加不会改变这个整数；引入负数之后，还有这样一条规则：对任意一个整数，一定存在一个整数，两个整数加起来等于0。以上就是整数加法所满足的一套规则。由于这个原因，我们说：在加法这种运算下，整数构成一个群。

稍后引入了实数的概念之后，我们发现，在加法这种运算下，实数也构成一个群。你可以按照上述对整数的陈述方式对实数重新加以陈述，就会发现，所陈述的内容完全符合实数加法的运算规则。

开始学习数学之后不久，我们开始学习乘法。在深入学习了乘法的运算规则之后，我们发现，实数的乘法也有一套规则：两个实数相乘依然是一个实数；三个实数相乘，可以先让头两个实数相乘，也可以先让后两个实数相乘，无论怎样相乘，结果都一样；存在一个叫做1的实数，任何实数与它相乘不会改变这个实数；对任意一个实数，一定存在一个实数，两个实数相乘等于1。除了0之外，全体实数的乘法满足上面的一套规则，因此，在乘法这种运算下，除了0之外的全体实数构成一个群。

群的概念不仅存在于数的加法和乘法中，现实中的很多行为都可以是构成群的因素。我们举一个最简单最常见的例子：把一本书平放在桌面上，其中的一个角固定不动，整本书绕着这个书角转动。把转过任意一个角度θ的操作记为C(θ)。在两个转动操作之间定义一个叫做“乘法”的运算：

C(θ₁+θ₂)=C(θ₂)C(θ₁)

这个定义的意思表示：先转过一个角度θ₁，紧接着再转过另一个角度θ₂，这样两次转动的联合效果相当于一次性地转过一个角度θ=θ₁+θ₂。按照这样的定义，如果连续进行三次不同角度的转动操作，则必定满足：

C(θ₁+θ₂+θ₃)=C(θ₃)C(θ₂)C(θ₁)

                      =C(θ₃)[C(θ₂)C(θ₁)]

                      =[C(θ₃)C(θ₂)]C(θ₁)

第二个等号表示：先转过一个联合转动θ₁+θ₂，在这个基础上再转过一个角度θ₃；第三个等号表示：先转过一个角度θ₁，在这个基础上再转过一个联合转动θ₂+θ₃。无论怎样转动，最终的效果是一样的；除此之外，我们还知道，必定存在一个转动I=C(0)，任意一个转动与它联合操作时，转动的效果不变。转动I=C(0)实际上就是不做任何转动；最后，如果转动一个角度后再朝反方向转过相同的角度，则结果与不做转动相同：C(-θ)C(θ)=I。由此可见，在平面上绕一个固定点的转动显然也构成一个群。

有了上面的例子，现在可以定义群的概念了。考虑一个由若干个元素组成的集合G={a,b,c…}，我们在这个集合的元素之间施行某种被称为“乘法”的运算。为了把这种“乘法”与数的乘法区分开，我们用一个星号*来代表这种乘法。如果刚才定义的“乘法”满足以下4条规则，我们就说，集合G在这种“乘法”运算下构成一个群：

1.集合中任意两个元素的乘积依然是这个集合的元素。这条规则可以用严格的数学术语陈述为：对任意f,g∈G，如果h=f*g，则必有h∈G。这个规则叫做群的封闭性；

2.元素的乘法运算满足结合律：对任意的a,b,c∈G，都有

a*b*c=a*(b*c)=(a*b)*c

3.存在一个唯一的单位元素e，集合中任意一个元素与它相乘不会改变自身。严格的数学术语是：存在唯一的e∈G，对任意的a∈G，a*e=e*a=a。元素e被称为群G的单位元素；

4.对于集合中的任意一个元素，存在一个逆元素，两者的乘积等于单位元素。数学术语是这样说的：对任意的a∈G，有唯一的逆元素a⁻¹∈G，使得

a⁻¹*a=a*a⁻¹=e

显然，一个群是一个特殊的集合，在这个集合中施行了某种满足一定规则的“乘法”运算。