【原】氢原子：合流超几何方程

在量子力学中，氢原子是少数几个能够严格求解的问题之一。讨论氢原子有助于理解量子力学处理实际三维问题的方法。

在氢原子中，质子的质量比电子的质量大得多。作为一个初步的近似，可以近似地把质子看做静止不动，电子在质子的库仑场中运动，静电势能取如下形式：

于是，具有一定角动量的氢原子的径向波函数满足方程：

可以通过变量替换把方程简化成：

容易验证，原点和无穷远点是方程的奇点。对微分方程的解在奇点附近的行为的讨论显示，氢原子的径向方程的解可以表示成以下形式：

由此得到函数 u 满足的微分方程：

它的解应该保证波函数在奇点处收敛。为了使方程进一步简化，再次做变量替换，方程就简化成合流超几何方程：

合流超几何方程在数学物理问题中经常出现，是一类非常重要的、有代表性的微分方程。