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我们在第一节里讲过的连分数的相关概念以及性质，统统可以搬过来。比如连分数的收敛子概念；收敛子的性质；以及连分数的收敛与发散；连分数的等价性等，这里不再赘述。唯一需要再提一下的是连分数收敛的概念。
现代的连分数理论很大一部分内容都是在研究连分数的收敛性问题上（并且一般都是在复数域上讨论），我不会介绍这些内容。实际上这些内容对于非专业人士来说应该是相当枯燥的，我自己也没什么兴趣。这里主要是想强调一下，当我们把一个函数展开成连分数形式时，连分数是否收敛是需要考虑的问题，本文后面的内容会忽略这些收敛性问题（这并不代表这些问题不重要）。 本文主要关心的是，如何把一个函数展开成连分数形式。
本文总结了把函数展开成连分数形式的三种方法，通过这三种方法可以得到大量常见的函数的连分数展开式。（由于本人所知有限以及篇幅有限，这里介绍的只是这三种方法的皮毛，用的也是最简单的例子。） 一、通过级数构造连分数。 我们来看看欧拉在1740年代的一个定理。欧拉给出了一个构造方法，通过这个方法，我们可以由一个给定的级数，构造出等于这个级数的连分数。
定理1可以通过归纳法证明，但写起来非常麻烦，我就不给出证明了。不过读者只需要亲自动手算一算上面式子的前几项，就能比阅读任何严格的证明，更好地理解定理1为什么会成立了。
（当然我们忽略了所有是否收敛的问题，并且我们假设所有出现的分母都不为0。）
高斯是第一个对超几何函数做系统研究的人。他的研究成果之一就是得到了超几何函数的连分数展开，而由于很多初等函数和特殊函数都是超几何函数的特例，所以这些初等函数和特殊函数的连分数展开也由此可得。 更具体地说，超几何函数一般定义为：
三、微分方程。 每个（可微）函数都可以看作是某个微分方程的解，我们可以通过对微分方程进行某些变换，使得微分方程的解可以表示成某种连分数形式，从而获得一个函数的连分数展开。当然在很多时候，微分方程是非常难求解的，对于某些很难求得其解的微分方程，我们反而需要通过解的连分数形式，来求方程的解。通过连分数来求微分方程的解，这也是连分数最重要的应用之一。当然这里我们主要还是关系如何把微分方程的解展开成连分数形式。 在研究连分数的历史上，Riccati方程是被研究的最多的一类微分方程。Riccati方程是一类一价二次常微分方程，其一般形式是：
拉格朗日的这个方法具有一定的局限性，不能适用于所有情况，但欧拉、拉格朗日以及很多其他数学家还是用这个方法解决了很多类型的Riccati方程。 我们最后以一个具体的例子来看看上述方法是如何实施的。
参考文献： 【1】CL. Lorentzen, H. Waadeland, Continued Fractions with Applications. 【2】Annie A.M. Cuyt, Vigdis Petersen etc, Handbook of continued fractions for special functions. 【3】George E. Andrews, Richard Askey Ranjan Roy, Special functions. 【4】维基百科_《Euler's continued fraction formula》. |
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