【原】柯西黎曼方程

我们已经对复变函数的概念有了基本的认识。但是，在物理学的研究中，在工程技术的应用计算中，人们往往不是对所有的复变函数感兴趣，而是只对一类有特殊性质的复变函数感兴趣，这一类有特殊性质的复变函数被称为解析函数。

设w=f(z)是区域G内的单值函数，如果在G内某点z处以下的极限存在：

则函数在该点可导，称此极限是函数在该点的导数，记为f'(z)。需要注意的是，只有当Δz以任意方式趋于零时，极限值相等，极限才会存在。利用这个要求就能够得到函数可导的必要条件。

考虑自变量的两种特殊的变化方式：第一种变化方式是让自变量的增量Δz沿着平行于实轴的方向趋于零。在这种情况下，上述极限如果存在，就可以写成

第二种变化方式是让自变量的增量Δz沿着平行于虚轴的方向趋于零。在这种情况下，上述极限如果存在，就可以写成

另一方面，上述极限如果存在，那么，自变量按这两种方式变化得到的两个极限值必须相等！由此得到：

我们把这两个等式称为柯西―黎曼方程。

如果一个函数在区域G内每一点都可导，它就是G内的解析函数。由这个定义可知，解析函数在其定义域内处处满足柯西―黎曼方程。或者可以这样说，如果一个复变函数在某个区域内处处满足柯西—黎曼方程，这个复变函数就是一个定义在这个区域内的解析函数。

柯西—黎曼方程把一个解析函数的实部与虚部联系起来，这意味着并不是随便找两个二元实变函数就可以构造出一个解析函数。一个特定的二元实变函数，只能与另一个特定的二元实变函数配对，才能成为某个解析函数的实部和虚部。利用解析函数的实部和虚部的这种相互关联性，对一个特定的二元实变函数，可以通过柯西—黎曼方程找到与它配对的另一个二元实变函数。

如果有一个二元实变函数u(x,y)，我们希望用这个函数做实部构造一个解析函数，就可以通过柯西—黎曼方程得到这个解析函数的虚部的全微分：

同样，如果有一个二元实变函数v(x,y)，我们希望用这个函数做虚部构造一个解析函数，就可以通过柯西—黎曼方程得到这个解析函数的实部的全微分：

我们知道，只要知道了一个函数的全微分，就可以通过积分求出这个函数本身。

我们来看一个简单的例子。有一个二元实变函数，我们用它做实部构造一个解析函数。根据柯西—黎曼方程，这个解析函数的虚部的全微分

利用全微分求解原函数有三种方法。任何一种方法都可以在相差一个任意可加常数的意义下得到虚部的表达式。

最简单的一种方法是拼凑法。这种方法利用微分法则进行逆向思惟，通过把全微分的函数式拼凑成全微分的显式，由此自然得出所求的函数。通过拼凑得出结果这种方法需要你的经验和灵感，没有统一可循的途径。比如说，对上面给出的函数v(x,y)的全微分的形式，根据我们的经验马上就可以得到这个函数的表达式：v(x,y)=2xy+C。当然，拼凑法并非总能奏效。在大多数场合中，一个函数的全微分多半会很复杂，这种方法派不上用场。

第二种方法是曲线积分法。这种方法利用全微分的积分与积分路径无关的性质，在积分的时候选择一条特殊的路径，使积分比较容易求出。

比如说，可以选择沿黄色虚线标记的路径对dv做积分： 由于积分路径分段光滑，积分被分成两部分：

第一个积分沿着x轴进行，在这种情况下，y=0，dy=0，积分结果等于0；第二个积分平行于y轴进行，dx=0，积分结果等于xy。由此得到v(x,y)=2xy+C。当然，你也可以选择另一条路径，先沿着y轴积分，再平行于x轴积分，得到的结果是一样的。

第三种方法是不定积分法。这种方法通过对其中一个偏导数求不定积分得到函数的表达式。比如说，由v(x,y)的全微分式可以知道，。暂时把y看作常数，对x求不定积分就得到

把v(x,y)的这个表达式对y做偏导数就得到。但是，由v(x,y)的全微分表达式可知，这个偏导数应该等于2x，于是，，由此可得。这就得到了v(x,y)的完整表达式。

也可用另一个偏导数对 y 求不定积分，按照这个方式得到的结果是一样的。

在相差一个任意可加常数的意义下得到了虚部的表达式之后，把它与已知的实部组合起来，就得到了所要求的解析函数的表达式：

在通常情况下，如果一个复变函数的实部和虚部满足柯西―黎曼方程，它就是一个在其定义域内的解析函数。但是，即使是一个解析函数，也有可能在某些点上有反常的表现，比如说无定义，或者不可导，或者不解析，这些点就被称为该函数的奇点。