【原】最简单的非循环群

我们已经详细地讨论过有两个群元的群，通过对这些二阶群的讨论，我们对群的同构这个概念有了初步的认识。不难想象，所有的二阶群都具有相同的群结构，它们是同构的：一个群必须有一个单位元素 e，如果这个群只有两个群元，那么，除了单位元素外，另外的那个群元 a 必定是自身的逆元素：a²=e，只有这样，才能保证这个群有且仅有两个群元，并使群的规则得到满足。具有这样的性质的群正是二阶循环群。二阶循环群是最简单的非平凡群。其实，单独一个元素也构成一个群，这个群只有一个(单位)元素，是一个平凡群。

比二阶循环群更复杂的群是有三个群元的三阶群：{e,a,b}。显然，ab 和 ba 不可能等于 a 或者 b，否则，b 或者 a 就是单位元素，这个群就只有两个群元；由于这个群只有三个群元，所以必定有 ab=ba=e，否则就会出现第四个群元；由 ab=e 可以得到 a²b=a，而 a²≠e，否则 b=a，还有，a²≠a，否则，a=b=e，于是必有 a²=b，由此可得 ab=a³=e。于是，有三个群元的群必定具有相同的群结构，与三阶循环群{e=a³,a,a²}同构。

很容易找到三阶循环群的例子。比如说，1 的开3次方的3个根在数的乘法下就构成一个三阶循环群，绕正三角形的中心轴转动 2π/3 的操作 C₃ 能生成一个三阶循环群：G₃={e=C₃³,C₃,C₃²}，这两个群是同构的。

可以将二阶循环群与三阶循环群的这种群结构推广到有 n 个群元的情况，构造一个 n 阶循环群：{e=aⁿ,a,a²,…,aⁿ⁻²,aⁿ⁻¹}。一个 n 阶循环群的乘法表非常有规律，可以按照下面的规则构造：

再看有四个群元的群：{e,a,b,c}。由于所讨论的群有四个群元，所以，比如说，ac 就有两种可能的结果：ac=e 或者 ac=b。

先考虑 ac=e 的情况，在这种情况下，a²≠e，ab≠e，于是必有 ab=c，由此推断 a²≠c，因此必有 a²=b，这就得到 c=ab=a³，并有 ac=a⁴=e。于是，ac=e 的情况对应于四阶循环群：{e=a⁴,a,a²,a³}。对其他几对群元的乘积 ab=ba=ca=bc=cb=e 做相似的分析可以得到类似的结论，只是表示群元的符号和排列顺序不一样，群的结构是一样的。

很容易找到四阶循环群的例子。比如说，1 的开4次方的4个根在数的乘法下就构成一个四阶循环群，绕正方形的中心轴转动 π/2 的操作 C₄ 能生成一个四阶循环群：G₄={e=C₄⁴,C₄,C₄²,C₄³}，这两个群是同构的。

以上分析显示，ab=ba=e, ac=ca=e 和 bc=cb=e 三种情况对应的都是结构相同的四阶循环群。如果群元的乘法关系不属于上述三种情况，则必定同时满足 ab=ba=c, ac=ca=b 和 bc=cb=a，在这种情况下，b 和 c 都不是 a 的逆元素，因此必有 a²=e，对另外两个群元有相同的结论：b²=c²=e。于是，我们得到一个非循环结构的四阶群，它的乘法表是这样的：

很容易找到一个非循环结构的四阶群。比如说，考虑一个椭圆，我们把这个椭圆绕它的长轴、短轴和中心轴转动 π 角的操作分别用 a、b 和 c 来标记。假定这个椭圆原先放置的状态叫做 S，显然，每一种操作连续做两次都使椭圆恢复到原来的状态，这相当于不对椭圆做任何操作：a²=b²=c²=e。另一方面，通过作图的方式很容易证明：abS=baS=cS。这意味着三种操作存在 ab=ba=c 这样的乘法关系。对其他两组操作的乘积也可以得到类似的乘法关系：ac=ca=b、bc=cb=a。结果发现，对椭圆的上述三种操作正好被纳入到一个四阶的非循环群中。

把上述对椭圆的对称转动改为对矩形或等边菱形的对称转动，同样可以得到相似的结论。我们发现，每实施一个这样的对称转动，图形的几何外观没有发生任何改变，我们把由这样的操作构成的群称为对称群。上述由对椭圆、矩形或等边菱形的对称转动构成的群被称为 D₂ 群。

仔细观察一下 D₂ 群的乘法表不难发现，{e,a}、{e,b} 和 {e,c} 分别也构成一个群，它们都与二阶循环群同构。我们称这三个二阶循环群为 D₂ 群的子群。子群的概念可以用数学语言表述为：假定 H 是群 G 的一个子集，如果 H 在与 G 相同的乘法规则下构成一个群，则称 H 是 G 的一个子群。

在上述讨论中，我们还发现一个特点：无论是二阶群，三阶群，还是四阶群，群的乘法都是可交换的。这个特点可以用数学语言陈述为：对任意的 a,b∈G 有 ab=ba。我们称具有这种性质的群为阿贝尔(abeI)群。