秩序与混沌：集合论的世纪斗争

编者按：第一期暑期学校已于昨日落下帷幕，我们跟随叶谨赫博士了解到了赋值域的多样可能。接下来新一期的暑校将关注于集合论中的大基数与选择公理，在它开始之前，让我们先跟随作者一起了解本次讲座的相关背景。

秩序与混沌：集合论的世纪斗争

1

知识的乐园

在实数和实数集的研究上，19世纪末和20世纪初的数学工作向我们展示了一个冰冷的事实：不加限定的，随意的实数集是极其复杂且难以被数学工具处理的。例如著名的连续统假设(CH)：“每个实数集要么跟自然数集一样大，要么跟实数全集一样大”，就因为它的高难度和在当时的重要性，被希尔伯特列为他著名的23问题中排名榜首的难题。

其中，康托在研究实数集中的极限点与对集合求导(Cantor-Bendixson derivative)这一操作中，提取出了完备集性质这一概念：一个实数集有完备集性质，当且仅当它要么是可数的，要么它就包含一个在取导操作下稳定的子集（即的导集为）。康托证明了：如果一个实数集满足完备集性质，那么它就不会是连续统假设的反例。

GeorgCantor (1845-1918)

康托晚年的一个工作方向便是期望通过某种复杂度的描述，给实数集进行分层，将连续统假设逐个击破：最简单的集合不能是CH的反例，由最简单的集合构成的稍微复杂一点的集合不能是CH的反例，如此类推，直到我们知道所有实数集都不能是CH的反例。德国集合论学家Ralf Schindler将这一尝试称作“康托纲领”。

当然，康托本人最后并没有找到他想要的复杂度分层。反倒是在十多年后的法国，Borel为了能讨论上的“测量”，在历史上第一次给出了部分符合康托想法的概念：Borel考虑了从开区间起，不断通过并集和补集的操作而获得的集合，并且宣称当他讨论集合的测量时，他讨论的仅仅就是通过这些操作获得的集合。今天这一类集合以Borel命名，被称为Borel集。巧合也好，必然也罢，所有的Borel集都满足康托的完备集性质。

康托生前有一句名言：“数学的本质恰好在于它的自由”。话虽如此，我们不得不承认，在Borel给出的限定性框架下，实数集的研究的确变得简单了许多。Borel的实数集有着高度的可驾驭性，一个只有Borel集的宇宙完全可以被看作知识的乐园(’paradise for understanding’)，它们不仅能非常直观地被数学家理解，而且还能被我们的数学工具深刻详尽地分析。

或许我们可以采取Borel的态度，认为在考虑实数集的问题时，我们仅仅讨论的是Borel集？很遗憾，我们可以证明，不是所有的实数集都是Borel的。

为了推广Borel的工作，Lebesgue发明了如今数学系课程中无处不在的“测度”这一概念，考虑了“可测性”这一概念：一个集合可测，当且仅当它和一个Borel集仅仅差一个测度意义上可以忽略的集合。Lebesgue证明了所有的Borel集都是可测的，并且存在可测的但并非Borel的实数集。

Borel集的定义 (Borel 1898年《函数理论课程》Leçons Sur La Théorie Des Fonctions)

而来自于函数研究背景的Baire，则是从拓扑视角出发，考虑了拓扑意义上的良好集合：一个集合拥有Baire性质，当且仅当它和一个开集仅仅差一个拓扑意义下可以忽略的集合（贫集）。同样，所有的Borel集都有Baire性质，并且存在有Baire性质但并非Borel的实数集。

从如今的视角看，Lebesgue和Baire的工作相当于扩建了由Borel勾勒出来的知识的乐园。他们发现的良好性质如今被称为“正则性质(regularity properties)”。几乎所有在数学家工作中自然出现的集合，都满足这些正则性质。与Borel集类似，拥有这些正则性质的实数集不仅能非常直观地被数学家理解，而且还能被我们的数学工具深刻详尽地分析。

通过选择公理，我们可以证明存在不具有可测性、Baire性质、和完备集性质的实数集，这样一类集合时常被称为病态集合（pathological set）。前面提到过，我们无法仅局限于Borel集的世界里，是因为我们能证明存在非Borel的实数集。那么类比地说，是不是证明了病态集合的存在，也相当于我们不能仅局限于Lebesgue和Baire建造的乐园内？

这是一个哲学问题，也同样是“如何做数学”的态度问题。自然地，我们想回答两个具体的问题：首先，考虑到选择公理有着高度的非构造性，是不是如果不接受选择公理，这些病态集合就无法证明被存在？其次，这些病态集合有多复杂？如果这些病态集合复杂到人类的任何活动都不会涉及到它们，那么从实用主义的角度出发，我们是不是也可以凑合着假装自己生活在一个所有实数集都有着正则性质的世界呢？

20世纪中后期，逻辑学界对这一系列问题的解答带来了一个惊人的发现：这实际上是关于巨大无穷的元数学问题！

2

集合论的三个任务

自诞生以来，康托所发明的集合论便担任着三个任务：

分析实数集的性质（“分析任务”）

研究超限无穷的结构（“组合任务”）

通过构建模型，确认数学理论逻辑上的无矛盾性（“元数学任务”）

在组合任务上，除去对不可数集合上的拓扑和组合课题之外，集合论最令人瞩目的研究内容就是大基数理论。所谓大基数，就是一类非常大的集合，以至于ZFC集合论本身无法证明它们存在。换句话说，如果我们认为大基数存在，甚至哪怕我们只认为大基数公理是无矛盾的，我们只能将它们当作公理来接受。

ZFC中的无穷公理（“存在一个包含所有自然数的集合”）可以被当作最简单的大基数公理。而Hausdorff、Sierpinski, Tarski在对康托的超限序数理论的推广时，则考虑了强不可达基数：一个不可数基数, 无法被幂集操作所达到（），也无法被拆分为少于个集合，其中每个集合大小都小于。注意，如果抛弃“不可数”的要求，那么自然数集的基数就满足这个要求。

对Lebesgue测度的研究也致使Ulam考虑了一种更大的基数：称为可测基数，当且仅当上能被赋予一个取值为0或者1的测度，使得的每个子集都能被测量，其中所有单点集测度都为0，并且小于份测度为0的集合加在一起，测度仍然为0。这样的基数如果存在，则会远远大于强不可达基数：一个可测基数下面，将会有那么多个强不可达基数。

但可测基数存在的后果远不止于此。结合上Łoś对超幂结构的研究，我们知道，如果存在一个可测基数，那么就存在一个初等映射, 其中是最小的被移动的序数。这告诉了我们，如果可测基数存在，那么集合论宇宙将会极其丰富，丰富到我们可以在这个宇宙中巧妙地找到一个它的子模型，并且将以一种不损失任何信息的方式嵌入中。

与此同时，在戴德金使用集合论给实数理论构造了模型后，集合论便逐渐担任起了它的元数学任务。其中一个里程碑式的成就，便是哥德尔在对连续统假设和选择公理的无矛盾性上，提出的冯诺伊曼宇宙的近似模拟：可构造宇宙。

冯诺伊曼宇宙V中的一个真类WF

我们知道，冯诺伊曼宇宙是对数学宇宙的一种分层构造方式：从空集出发()，不断地取幂集（），并且在极限步将目前所得的集合全部收集起来（）。冯诺伊曼贡献的良基公理，说的就是数学宇宙中所有集合都位于某层中。

与冯诺伊曼宇宙类似，哥德尔也是通过迭代某种幂集操作来获得他的可构造宇宙。记为所有可以被带参数定义的子集的集合，则我们从空集出发()，不断地取可定义幂集（），并且在极限步将目前所得的集合全部收集起来（）。

哥德尔通过研究的结构，证明了在满足ZF集合论的同时，也满足广义连续统假设和选择公理。换句话说，如果ZF有模型，那么我们可以通过在该模型中构造，得到ZFC+GCH的模型。可构造性公理(’’)所表达的就是可构造宇宙完完全全模拟了数学宇宙：每一个集合都属于某一层。显然，如果为真，那么选择公理和连续统假设均为真。

哥德尔和他后继者们的工作告诉了我们，通过类似的构造方法得到的内模型有着极高的可驾驭性。比如说，所有自然的数学问题，我们都可以在中得到解答，要找到独立于公理体系的命题极其困难。相较之下，则是比较模糊的：如果仅仅依赖ZFC，那么中也有着许多无法被回答的问题。通过类似的构造来获得对数学宇宙的近似模拟，在集合论中被统称为内模型法。研究这一类内模型的理论也自然地被称作内模型论。

从这个角度看来，哥德尔的可构造宇宙仿佛就是另外一个知识的乐园：跟Borel集类似，可构造集不仅能非常直观地被数学家理解，而且还能被我们的集合论工具深刻详尽地分析。但同时与Borel集不同，我们无法证明存在不可构造的集合。换句话说，如果我们愿意，我们完全可以接受可构造性公理，选择定居在哥德尔构造的乐园里。

但我们愿意吗？注意到，可构造宇宙只是对真正的数学宇宙的一个近似模拟而已。对于这个近似模拟的正确性，我们并没有什么显然的先验证据。在这个意义上，构造性公理则是将“这一近似模拟完全正确地模拟了数学宇宙”这一信念给形式化了。我们应该接受吗？退一步说，有什么样的可能证据能支持或者反对我们对的接受与否？

上一小节末尾写道，我们可以证明Borel、Baire、Lebesgue三人搭建的知识乐园并不是实数集的全貌，所以我们有着充分理由选择不停留在那里面，除非我们从实用主义角度出发，论证那些病态集合有着不可触及的高复杂度。此处相应的数学问题就是，病态集合能有多复杂？

另一方面，我们无法从证明出发，来排除哥德尔搭建的知识乐园就是数学宇宙全貌的可能性。所以我们暂时不知道该如何决定是否满足于中的数学宇宙。所以相应的哲学问题就是，有什么样的证据能帮助我们决定是否就是？这样的证据能否来源于数学本身？

下一节我们将会看到，这两个问题实际上是同一个硬币的两面。

3

惊人的发现

集合论的三项主要功能给它带来了极其丰富和多样的研究工作。乍看之下，集合论与其说是有着自己特别研究对象的一个理论，倒不如说是一门较为普适的语言，能给分析、拓扑、超限组合、和元数学等，涉及无穷的研究方向提供有效的研究工具。

也正是因为如此，1957年Specker的定理才如此令人惊讶：这几个看似零散无关的方向，实际上竟然息息相关。

定理(Specker, ZF+DC). 如果所有实数集都有完备集性质，那么中的第一个不可数基数在中就是一个强不可达基数。

上节说到，我们想知道如果不用选择公理，那么是不是有可能病态集合就不存在？Specker定理告诉了我们，在抛弃选择公理的情况下，如果所有实数集都有完备集性质，那么首先，ZFC+“强不可达基数存在”就是一个无矛盾的理论（并且这是一个真但不可被ZFC证明的算术命题），其次，哥德尔的可构造宇宙在提供近似这个任务上错得一塌糊涂：所认为的最小的不可数基数，在看来竟然是一个大基数。从这个定理开始，集合论的分析任务、组合任务、和元数学任务之间奇妙的纠缠就此诞生。

研究哪些什么样的实数集有正则性质的理论，如今被包含于更广泛的实数集结构理论(structure theory)中。对这个问题的探究，是20世纪上半叶的波兰-俄罗斯函数论学派（代表任务：Luzin, Suslin, Sierpinski, Kolmogorov等）的主要研究方向。波兰-俄罗斯学派对此研究的一份动机，就是一条长期被实际数学证据所支持经验原则:

能被简洁定义的/构造性地找到的数学对象应该有着良好的性质，以将它们跟病态的/非构造性的数学对象区分开来。

为了给Borel集赋予一个复杂度分层，我们可以考虑一个Borel集是从开区间开始，通过多少次并集和补集的操作次数所得到的，以这个次数给它赋予一个复杂度的衡量。Lebesgue于1905年曾经错误地宣称，如果给生成Borel集的操作加上数学中广泛使用的投影操作，结果仍然不变。也就是说，高维度的Borel集，投影到低维度上，仍然是Borel集。

十二年后，Suslin于1917年发现Lebesgue的想法是错的：投影操作的确可以生成比Borel集更复杂的集合。在纠正Lebesgue的同时，Suslin的发现也奠定了波兰-俄罗斯函数论学派的研究道路。在Borel层级之上，我们仍然可以类似地获得一种更广阔的复杂度的分层，投影层级：

称Borel集合为, Borel集的投影(又解析集, A集)为, Borel集的投影的补集(又称CA集)为

如果是集合, 那么,也是

如果是集合, 那么的补集就是集合

如果是集合, 那么的投影则是集合. （集合在当时又被称为PCA集）

投影层级

通过Luzin、Suslin、和Alexandrov对集合的研究，我们知道了Borel低估了自己所构建的知识乐园：Borel集的投影也都拥有完备集性质、可测性、和Baire性质。这也表明了，病态集合的复杂度肯定不能低于。

继承着法国分析学家们的思想，我们继续追问：那么病态集合最低的复杂度能有多少呢？特别地，有没有可能不可测的集合就在处等着我们，或者不拥有完备集性质的集合就在处等着我们呢？

这两个问题正是波兰-俄罗斯学派想要尝试攻克的问题。在久经挫败后，Luzin甚至给出了与数学家常见态度相悖的失败宣告：

Luzin: 我们并不知道，我们无法知道，集合是否全都是可测的。

当然，我们如今得知，Luzin等人的失败并不是他们数学功底的缺失。恰恰相反，他们之所以在这个问题上遭受了溃败，正是因为他们的工作触及到了ZFC公理可证的边界。

定理(哥德尔, Novikov, Addison). 如果, 那么就存在一个不满足完备集性质的集合，同时也存在一个  集合既不可测又没有Baire性质。

定理(Specker, Mansfield, Solovay). 如下三个命题等价

所有集都有完备集性质.

所有集都有完备集性质.

对于任意实数,都认为是强不可达基数.

其中是模仿可构造宇宙而得到的广义可构造宇宙：在“可定义幂集”的操作中，我们可以自由地“查询”所包含的信息。

至此，我们知道了，如果我们认为可构造宇宙对数学宇宙的近似模拟是完全正确的，那么波兰-俄罗斯学派所发现的经验原则就会在下一步戛然而止。反之，如果我们选择相信所有集都有完备集性质，那么哪怕我们在任何实数的帮助下，以哥德尔的方式构造对的模拟近似，我们得到的结构都与真相相去甚远。所认为的最小的不可数基数，在这些看来竟然是一个大基数。

另一方面，Scott等人对可测基数的探究揭示了在处理大基数上的不足之处，并且同时也提供了一个继续推进波兰-俄罗斯学派所发现的经验原则的思路：

定理(Scott, Silver, Solovay). 如果存在一个可测基数，那么. 特别地，如果存在一个可测基数，那么所有的  集合都满足完备集性质、可测性、和Baire性质。

那么有没有可能，在存在可测基数的情况下，虽然哥德尔朴素的近似模拟是失败的，但是他的精神是正确的？我们能不能尝试通过容纳可测基数上的测度，来构造，以此得到最终正确的近似模拟呢？

Jensen、Kunen、Silver等人对这一项目的尝试向我们揭露了的高度可驾驭性：与Borel集和类似，不仅能非常直观地被数学家理解，而且还能被我们的集合论工具深刻详尽地分析。换句话说，也是一个知识的乐园。如果我们乐意，我们完全可以无矛盾地接受这一公理，选择定居在中。

此时，一个不断回响的问题再次浮现了出来：我们真的愿意吗？

定理. 如果, 那么存在且仅存在一个可测基数。与此同时，存在一个 集合，既不满足可测性，又不满足Baire性质。存在一个集合，不满足完备集性质。

展现了它在处理大基数和正则性质上的不足之处，与的故事几乎完全平行。追随着这一线索，武丁和Shelah发现了武丁基数这一举足轻重的概念：

定义. 一个基数是武丁基数，当且仅当对于每个子集，都存在一个基数，满足：对于每个, 都存在一个集合论宇宙到某个内模型的初等嵌入, 使得是第一个被移动的序数，, 以及

武丁基数虽然有着较为技术性的定义，但是这完全值得它带来的不可忽视的优美理论：

定理 (Shelah-武丁). 令为正整数，假设存在个武丁基数，并且在它们之上有一个可测基数，那么所有的  集合都满足完备集性质、可测性、和Baire性质。

为存在武丁基数的宇宙打造内模型近似模拟的任务也展示了与和类似的局限：

定理 (Martin-Steel). 令为正整数，假设存在个武丁基数，那么就存在一个类似一样可驾驭的内模型，其中存在且仅存在个武丁基数，并且存在一个集合，不满足完备集性质、可测性、和Baire性质。

伴随着这一系列惊人的发现，架在集合论铁三角之间的桥梁在我们眼前缓缓展开。摆在我们面前有两份线索，第一份线索：如果集合论宇宙是小而简单的，那么病态的实数集就会以极其简单且构造性的方式出现。第二份线索：一个大而丰富的集合论宇宙中，构造式获得的实数集都有着良好的性质，但每当我们满足于朴素地近似模拟这样大而丰富的宇宙时，病态的集合就会马上在下一层复杂度中出现。

4

秩序与混沌

经验告诉我们，相比起小而质朴的数学宇宙，在大且丰富的数学宇宙中，实数集的结构理论是优美且有序的。但与此同时，每当我们接受了数学宇宙的宏大，我们之前得以成功探索数学真理的内模型模拟工具就惨遭溃败。

这样的一份经验在Jensen和Silver的二歧性定理中得到了形式化的表达：

定理 (Jensen, Silver, -二歧性定理). 如下两个命题有且仅有一个成立：

(1) 对于任意奇异基数，都能正确判断的奇异性和正确计算的后继基数 （“成功地近似模拟了”）

(2) 任何不可数基数在中都是强不可达基数（“对模拟的尝试惨遭溃败”）

图灵等人于20世纪30年代对“可计算性”这一理念形式化工作是人类文明的一枚瑰宝。受这一工作的成功所启发，哥德尔在普林斯顿大学建校两百周年的纪念系列演讲中，号召下一代的逻辑学家对“可定义性”这一理念进行类似的形式化工作。在演讲中，哥德尔提出了两个可能的备选对象，一个是我们熟悉的可构造宇宙，另外一个则是遗传序数可定义宇宙（hereditarily ordinal definable sets,）。

与类似，的定义也是基于逻辑学中“可定义”概念。但是从空集出发，自下而上迭代构造得到的结构，而则是在现有的宇宙的基础上，考虑那些能够被以序数为参数定义的集合，以一种自上而下的方式获得的结构。与不同的是，可以容纳所有自然的大基数。

前面章节提问过，什么样可能的证据能让我们判断对数学宇宙的近似模拟是否正确。对这个问题的回答，我们转向了病态集的复杂度和大基数公理之间的联系。在那里，一系列的线索都告诉我们，的近似模拟与真相是相去甚远的。也就是说，我们的数学线索告诉我们，-二歧性定理中，的溃败远远要比的成功更有可能。

武丁的工作则向抛出了同样的问题。

定理 (武丁, -二歧性定理). 假设是一个可扩基数（一种强于可测基数和武丁基数的大基数），如下两个命题有且仅有一个成立：

(1) 对于任意奇异基数，都能正确判断的奇异性和正确计算的后继基数 （“成功地近似模拟了”）

(2) 任何不可数基数在中都是可测基数（“对模拟的尝试惨遭溃败”）

在这期间，内模型论对数学宇宙寻找可驾驭的内模型近似模拟这一任务，给我们带来了一个可预见的终点。称一个基数为超紧基数，当且仅当对于每一个基数，都存在一个初等嵌入，使得是最小的被移动的序数，并且对序列封闭（即）。武丁证明了，如果我们能给超紧基数找到一个类似的，高度可驾驭的知识的乐园，那么这样一个知识的乐园就会是坚不可摧的：它不会被任何的新大基数公理所击败。

武丁在复旦演讲

对于这样一个终极的内模型，武丁将之称为“终极(Ultimate-)”。武丁同时也提出了一个与之相应的猜想：

猜想 (武丁, 弱终极猜想). 从公理体系’ZFC + 存在一个可扩基数 + 在之上存在一个巨大基数’出发，我们可以证明’存在一个给超紧基数的弱扩张子内模型，并且是可定义的，以及在中 终极’ 。

值得注意的是，这是一个关于某份证明存不存在的问题。也就是说，这是一个可以通过写一份电脑程序暴力搜索所确认的问题，如果它的答案是肯定的，那么它一定是可以被回答的，不会受哥德尔不完备定理中的独立性问题所影响。

如果武丁的猜想为真，那么与的情况相反，大基数公理告诉了我们的正确性。同时这也意味着我们成功地继承了哥德尔的精神，给数学宇宙找到了一个坚不可摧的，高度正确的近似模拟，并且这个近似模拟也是一个知识的乐园，能被我们的集合论工具深刻详尽地分析，几乎所有自然的数学问题都能在这里被回答。这样子，我们就可以首次诚实地给出，定居在这样一个知识乐园里的理由。

另一方面，在可测基数之后，大基数的生成模板都是宣称存在一个初等嵌入，其中在某些方面和相似，越高的相似度就意味着所定义的大基数越强。这一模板的奠基人之一，Reinhardt在他的博士论文中就考虑了这样一个问题：有没有可能存在一个在这个模板下最强的大基数，也就是第一个被初等嵌入所移动的序数？

著名的Kunen不一致定理就是对这个问题的否定回答：在假设选择公理的情况下，我们可以证明Reinhardt定义的基数是有矛盾的，所以它不存在。

抱着打破砂锅问到底的数学态度，我们奇妙地仿佛又回到了19世纪末20世纪初法国分析学家所考虑的问题上：如果抛弃掉选择公理，那么Reinhardt基数有没有可能存在？或者退一步说，ZF + “Reinhardt基数存在”有没有可能是一个无矛盾的理论？

我们如今知道，如果ZF+“Reinhardt基数存在”+“存在真类多的ω-巨大基数”是无矛盾的，那么终极猜想的回答就是否定的，我们一直以来所追寻的，对数学宇宙的可驾驭近似模拟就仅仅是一份幻觉，这样的一个模拟不可能存在。数学宇宙的全貌在可预见的未来中都会是无法触及的。

更可怕的一种可能性是，这种与选择公理相矛盾的大基数，会像可测基数击溃可构造宇宙一般，给正确性带来毁灭性的打击。当然，这里甚至还没有考虑到“Reinhardt基数存在”为真的可能性，在这个情况下，就连我们熟知的选择公理都会是假的。

质朴与丰富，经验与直觉，模糊与明晰，近似与真相，从康托发明集合论起，在过去一个世纪里的跌跌撞撞中逐渐明朗的数学宇宙图景，来到了一个关键的岔路口。借用Peter Koellner教授的比喻，我们面前展开了两份未来的可能性：

其一，弱终极猜想为真，我们成功地找到了一个实际完备且兼容大基数的良好内模型，成功地实现了哥德尔的愿景。这将会是一条充满着秩序的路，萦绕着着希尔伯特的名言：“我们必须知道，我们必将知道”。

其二，反选择公理的大基数是一致的，甚至是真的。那么哪怕就连和终极也将会在真正的集合论宇宙面前错得一塌糊涂。这将是一条由混沌所统治的路，被Luzin的投降宣言所笼罩：“我们并不知道，我们无法知道”。