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在解决圆锥曲线（圆，双曲线和椭圆等）的问题时，经常需要设曲线上一点的坐标。通常都会设横坐标，这个时候，如果要用圆锥曲线的方程表示纵坐标，就会很麻烦。 比如设圆x^2+y^2=1上的一点(x,正负根号(1-x^2))，还要根据点所在的象限，区分纵坐标的符号性质。如果是双曲线或椭圆上的点，就更加麻烦了。当然，我们也是可以设法避开这种设法的。比如，把点设在某一条直线上的方法，这需要这点是直线与曲线的交点才行。虽然如果，仍有一些避无可避的情况。这时候，我们可以选择另一种设点的方法，就是用圆锥曲线的参数方程来设这个点，这样做有可能得到意想不到的好效果。使接下来的运算变得比较简便。 比如在圆x^2+y^2=r^2上，就设点(rcost, rsint). 在椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上, 就设点(acost, bsint). 在双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1上，则可以设点(asect, btant)，当然如果你够大胆的话，也可以设成点(acost, bisint)，纵坐标设成了虚数的形式试一试。 如果没有实例，一切都只是纸上谈兵。下面老黄就以2022年高考数学理科全国甲卷的一道真题为例，给大家演示一下这种方法是怎么使用的。 椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的左顶点为A，点Ｐ, Q均在C上，且关于y轴对称. 若直线AP, AQ的斜率之积为1/4, 则C的离心率为： A. 根号3 /2； B. 根号2 /2； C. 1/2； D. 1/3 分析：题目本身是没有图的，如果理解上有困难，就要画一个草图帮助理解，如下图： 以往老黄都是先求出答案，再画图帮助大家理解的，所以以往画的图形，基本上都是准确的。但这道题的图是真的草图，不准确的哦。 显然，A点的坐标是(-a,0), F点的坐标是(-c,0). 我们可以设P(acost, bsint). 而Q点与P点关于y轴对称，所以横坐标相反，纵坐标相等，即Q(-asint, bsint). 这就避开了那种麻烦的(x,y)设法了。当然，如果你有其它好的方法， 也是可以使用的。 有了这四个点的坐标，我们就可以表示出AP和AQ的斜率。利用直线斜率的两点坐标公式，有AP的斜率为：bsint/(acost+a), AQ的斜率为：bsint/(-acost+a). 依题意，它们的乘积等于1/4. 所以b^2(sint)^2/(a^2(1-(cost)^2))=b^2/a^2=1/4. 即b=a/2. 又c^2=a^2-b^2=3a^2/4. 所以c=根号3 a/2, 从而求得离心率e=c/a=根号3/2. 选A. 其实，a,b,c正好构成一个含30度角的直角三角形的三边关系。了解这一点，选择中可以加快一点速度。 想要掌握这种“用参量方程坐标表示圆锥曲线上的一点"的方法，就要在平时多加练习哦。 |
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