|
这是一道非常复杂的中考数学压轴题 ，由于题目过于复杂，废话不多说，直接看题： 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax^2-2ax-3a(a<0)与x轴交于A,B两点(A在B的左侧)，经过点A的直线l: y=kx+b与y轴负半轴交于点C, 与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC. (1)求A,B两点的坐标及抛物线的对称轴； (2)求直线l的函数表达式(其中k,b用含a的式子表示)； (3)点E是直线l上方的抛物线上的动点,假设△ACE的面积的最大值为5/4, 求a的值； (4)设P是抛物线对称轴上一点，点Q在抛物线上，以点A,D,P,Q为顶点的四边形能否成为矩形？假设能，求点P的坐标；假如不能，请说明理由.  解：(1)解方程ax^2-2ax-3a=0, 得x1=-1,x2=3,【有没有人像老黄一样，被这个a蒙了好一会儿，老觉得这个a未知，就不能得到A，B的横坐标。其实二次函数与常数的积，不改变零点的位置了，这可以当做一个定理记起来哦。】 (x1+x2)/2=1,【这其实是中点的坐标公式的应用，第四小题还要派上大用场哦。】 ∴A(-1,0), B(3,0), 抛物线的对称轴为：x=1. (2)将A(-1,0)代入y=kx+b得, -k+b=0, ∴b=k. 当ax^2-2ax-3a=kx+k时, ax^2-(2a+k)x-(3a+k)=0,【列函数相等，就是为了求两个函数图像的交点坐标，或交点的情况，为了下一步服务】 设D(d,dk+k), 则-d=-(3a+k)/a, d=(3a+k)/a,【这是韦达公式x1x2=c/a的运用,其中x1是A点的横坐标-1，x2是D点的横坐标】 由CD=4AC，有(3a+k)/a=4, k=a,【这个转化很重要。其实是平行线截取线段成比例的基本事实的运用】 ∴直线l的函数表达式为y=ax+a. (3)过E作EH//y轴交AD于F,  设E(x,ax^2-2ax-3a), 则F(x,ax+a), EF=ax^2-2ax-3a-ax-a=ax^2-3ax-4a, S△ACE=S△AEF-S△CEF=(x+1)(ax^2-3ax-4a)/2-x(ax^2-3ax-4a)/2 =(ax^2-3ax-4a)/2=a(x-3/2)^2/2-25a/8, 【可见，当x=3/2时，S△ACE=-25a/8最大】 ∴-25a/8=5/4, a=-2/5. (4)【注意了，第三小题的条件不能拿到第四小题来用，但第二小题却可以，因为第二小题其实并没有新增条件】 由(2)可得D(4,5a), 设P(1,p),Q(q, aq^2-2aq-3a),  如图(2),当AD是边时, (4+q)/2=(-1+1)/2,解得q=-4, 【判断平行四边形，最好的办法是根据对角顶点的横坐标中点相同，纵坐标中点也相同，即对角线互相平分】 ∴Q(-4,21a), 又p/2=(5a+21a)/2,∴p=26a.【上面一步是关于横坐标的，这一步是关于纵坐标的。中点公式非常重要】 求得AQ的斜率为：21a/(-4+1)=-7a,【这是为了判断平行四边形有一个内角是直角】 由-7a^2=-1, 得a=-根号7/7,【根据两直线AD和AQ互相垂直，斜率的积等于-1】 ∴P(1,-26根号7/7). 当AD是对角线时，(-1+4)/2=(1+q)/2, 解得：q=2,∴Q(2,-3a).【又一次运用中点公式，这是横坐标的情况】 又5a/2=(p-3a)/2,解得：p=8a,【这是纵坐标中点公式的运用】 AQ的斜率为：-3a/(2+1)=-a, AP的斜率为：-8a/(-1-1)=4a, 由-4a^2=-1, 得a=-1/2, ∴P(1,-4)或(1,-26根号7/7). 题目完成之后，回过头来看，似乎没有那么复杂，但是完成之前，特别是在中考紧张的心情下，情况可就大不一样了哦。况且这道题有四小题，比普通的压轴题还要多一小题。可以说，这样的题目，要是能够轻松解决的，中考数学都不会有什么问题，肯定能拿高分的。 |
|
|
