二次函数动轴动区间最值探索

二次函数动轴动区间最值探索——2020年秋伍家岗区九年级数学期末第24题解析

我们在研究二次函数最值问题时，经常遇到动轴定区间或定轴动区间问题，无论谁定谁动，核心就是确定抛物线对称轴与区间的位置关系。若轴在区间内，则最值即为顶点纵坐标，若轴在区间外，根据开口方向来判断最值取某个区间端点。

那如果对称轴和区间均未定呢？其实方法仍然类似，只是在分类讨论时会多出几种情况罢了，对分类依据的掌握要求较高。

题目

关于x的两个二次函数解析式为：y1=ax²-ax，y2=-ax²+(a+an)x-an，其中a为负常数，n为小于等于3的某个数.

(1)若a为-1，试判断(-1,-2)关于抛物线y1对称轴的对称点是否在抛物线y1上？

(2)如图1，设抛物线y1=ax²-ax与x轴交于点O，另一点A.设抛物线y1与抛物线y2另一个交点为点B(两交点不重合)，试问新函数z=2y1-y2当x取值在A，B两点横坐标之间(含A，B横坐标)时，是否存在最大值？求最小的最大值对应的n的取值.

解析：

(1)将a=-1代入，则y1=-x²+x，本小题其实非常简单，只是叙述上有点“绕”，因为抛物线本身就是轴对称图形，只要有一个点在抛物线上，那么它的对称点一定也在抛物线上，因此只需要验证(-1,-2)在不在y1=-x²+x上即可，显然它在；

(2)仍然逐字读题，“抛物线y1=ax²-ax与x轴交于原点O，另一点A”，我们将抛物线化为交点式便可看出点A坐标，y1=ax(x-1)，点A(1,0)；

“设抛物线y1与抛物线y2另一个交点为点B(两交点不重合)”，说明这两条抛物线有两个交点，为什么要说“另一个交点B”呢？通常情况下说“另一个”前，一定有“这一个”，然而前一句讲的是抛物线y1与x轴的交点，并非两条抛物线的交点，所以实际上是隐藏了一条信息，需要学生挖掘。

我们将抛物线y2也化为交点式，可利用因式分解中的分组分解法，也可利用十字相乘法来完成，推导如下：

我们可发现，这两条抛物线y1和y2都经过了同一个点A，即前面所谓的隐藏信息。

当然，我们将它们都化为交点式，对后面的探索非常有帮助，我们想找到点B坐标，联立它们，推导如下：

由两交点不重合，可得n≠2；

“试问新函数z=2y1-y2当x取值在A，B两点横坐标之间(含A，B横坐标)时，是否存在最大值？”，这里出现了新函数z=2y1-y2，不妨将前面解析式代入，可得新函数的解析式，不过也为了后面解题求最值，尽量化为顶点式，推导如下：

可以看出，它的对称轴为x=(3+n)/6，而取值范围在1和n/2之间(含端点)，下面开始分类讨论前的准备工作：

依据一：1和n/2哪个更大？

依据二：(3+n)/6与1、n/2的大小关系？

其中依据一有两个结果，依据二有三个结果，因此利用下概率常识也知道可能有六种结果；

先从1和n/2开始，分两大类，在这两个大类之下，各细分三个小类：

①当n/2>1，即当2<n≤3时，请留意题目中对于n的限制“n为小于等于3的某个数”

对于范围n/2≤x≤1，(3+n)/6可在其左侧、内部、右侧：

我们将范围用红色加粗线描出，再作出抛物线z的顶点D，当(3+n)/6≤1时，如下图：

解上述不等式得n≤3，此时在范围内，x=1时取最大值0；

当1<(3+n)/6<n/2时，如下图：

解上述不等式组得n>3，但与2<n≤3不符；

当(3+n)/6≥n/2时，解这个不等式得n≤3/2，也与2<n≤3不符；

②当n/2<1，即当n<2时

对于范围1≤x≤n/2，(3+n)/6可在其左侧、内部、右侧：

我们将范围用绿色加粗线描出，也作出抛物线的顶点D，当(3+n)/6≤n/2时，如下图：

解上述不等式得3/2≤n<2，此时在范围内，x=n/2时取最大值an(n-2)/4，考虑到n的取值范围，这个最大值大于0；

当n/2<(3+n)/6≤1时，如下图：

解上述不等式得n<3/2，此时在范围内，取顶点纵坐标为最大值，为-a(n-3)²/12，显然它大于0；

当(3+n)/6>1时，解得n>3，不符合“n是小于等于3的某个数”；

我们综合以上所有的情况，发现新函数z在A，B横坐标之间时，存在三个最大值，其中两个大于0，一个等于0，即最小的最大值是0，对应的n的范围是2<n≤3.

解题反思

第1小题并不需要求对称轴，再求对称点，再代入解析式验证，利用抛物线图象轴对称性即可判断。此处的主要困难在于阅读理解“关于抛物线y1对称轴的对称点是否在抛物线y1上”，解读后，问题迎刃而解。

第2小题中，新函数的对称轴含n，取值范围也含n，因此属于“动轴动区间”，在这个基础上讨论最值，对学生的空间构图要求比较高，虽然题目给出了两个备图供分析，但实质上备图中的抛物线只是y1，而不是新函数z，因此参考意义不大，同时这个新函数含参，抛物线不容易画，归根到底仍然要靠空间想像。

在分类讨论的时候，要随时留意题目主干条件中对n的范围要求，以及分类时对n的范围要求，相当于不断求不等式组解集，非常考验耐心与细心。在排除掉不能取最值的情况之后，对于符合条件的最值进行比较，三个最值中设计较为巧妙，只有一个最值为0的最小，另外两个最值都是正数。

在求解过程中，值为正的两个最值不好求，好在最终判断时并不需要求具体值。

同样本题考查学生的阅读甄别能力，“求最小的最大值对应的n的取值”，着实要费一点眼力。