定积分应用之计算平面曲线围成的面积

围成平面区域的曲线可用三种不同的形式表示：

1、直角坐标系：

己知在区间〔a，b〕上的非负连续曲线 y = f（x）、x轴及二直线x = a 与 x = b 所围成的曲边梯形的面积

就是〔a，b〕上 f（x）的定积分。

注：面积不能是负数，所以要求函数是非负的，若函数f（x）有负的部分，

则积分部分为∫丨f（x）丨dx 。（在闭区间【a,b】上）

例题1、y=x^2与x=y^2围成图形的面积该怎么求？

例题1图（1）

解：两条曲线的交点是（0，0）与（1，1），则此区域的面积为：

A=亅（√x - x^2）dx = 1／3 。 (在闭区间【0,1】上积分)

注：闭区是〔0，1〕，是对x积分把x=y^2用x来表示y，即 y = √x 。

2、参数方程：

例题2、求椭圆： x = acost ,y = bsint （0≤ t ≤ 2Π）的面积。

解：椭圆关于 x 轴、y 轴都对称，其面积是第一象限那部分区域面积的四倍。

第一象限那部分区域是曲线

x = acost ,y = bsint ，（0≤ t ≤ Π/2） 和 x 轴、y 轴所围成。

而函数 x = acost 在【0，Π/2】严格减少，则有 x' = -asint ≤ 0 。

由积分面积公式 A = ∫∣y∣dx （在闭区间【a,b】上积分）得：

椭圆的面积 A = -4∫∣ bsint∣（-asint）dt = 4ab∫sin^2tdt

= 2ab∫(1 - cos2t)dt = 2ab(t-1/2 sin2t)∣

= abΠ

注：积分区间为【0，Π/2】。

3、极坐标（略）：

注：做此类题要明白是对谁求积分、找出闭区间、会用不定积分常用公式。