【课程】西南科大网教学院_数学分析26_7.4定积分的应用

7.4定积分的应用

    定积分在几何、物理、力学和工程技术等方面都有着极其广泛的应用．重点讨论定积分在几何上的应用．

一、平面图形的面积

1. 在平面直角坐标下的面积

（1）  设函数均在区间连续，且，求所围成的面积．

    在上任取一微小区间，该微小区间对应的微小面积为：

故所求图形的面积为

    另一方面从定积分的几何意义来看：

 1) 当时，如图，面积

  2) 对于一般地，则存在，使得恒有， 故图形的面积

 

 （2）  若函数在上连续，且，求由所围成的图形面积．

 根据微元法，如图，在区间上任取小区间，则该

微小区间所对应的微小面积为

故所求面积为

 

 2. 参数方程所确定的曲线围成的图形面积

    如图，设曲线由参数方程给出，若

，则曲线与轴，所围成的图形面积可按下列方法求得．

 在区间内任取微小区间，该微小区间对应的微小图形面积则所求面积

故                        

    若在区间上，恒有，则 , 则

于是，面积可统一写成

  3. 极坐标方程所确定的曲线围成图形的面积

    设曲线由极坐标方程给出，其中在上连续、非负且，求由曲线及二射线所围成图形的面积．

 应用微元法，在上任取一微小区间，该微小区间对应的面积微元是以极径为半径，以为圆心角的扇形面积．即

则整个图形面积为：

二、  空间立体的体积

1.已知截面面积函数的立体体积

    如果一个立体上垂直于一定轴的各个截面的面积是已知的，则这个立体的体积一般可以用定积分来计算．

    如图所示，取定轴为轴，并设立体介于两个平面之间．，在处对应的立体的截面面积为，假定为的连续函数，则我们利用微元法，在任取微小区间，该微小区间对应的体积：

从而，所求立体的体积为：

 

2.旋转体的体积

    (1)．平面曲线绕轴旋转

旋转体是一类特殊的空间立体．设为在上以连续曲线()为曲边梯形，将绕轴旋转一周就得到一个旋转体．

由图8-3-5容易看到，这个旋转体过点且垂直于轴得截面面积函数为：

           

由此得旋转体的体积公式为

     (2). 平面曲线绕轴旋转

设函数在区间连续，试求它绕轴旋转所得旋转体的体积，

在区间上任取一微小区间，则该小区间对应的截面面积为

则旋转体的体积为