【原】2022高考数学的这个“棺材”，葬送了多少大学梦，挑战空间想象力

高考数学中必有立体几何的问题。有一些题目你可以通过平时努力，归纳知识点并掌握其变化规律来解决，常见于正方体问题。有一些问题需要掌握很多空间几何的定理，配合空间想象能力来解决，常见于锥形几何体的类型题。2022年高考数学全国甲卷的这道立体几何问题，则几乎完全考验你的空间想象能力。没有很好的空间想象力，将很难解决它。这是一道与长方体有关的选择题：

在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30度，则

A. AB=2AD； B. AB与平面AB1C1D所成的角为30度；

C. AC=CB1； D. B1D与平面BB1C1C所成的角为45度.

分析：正所谓“有图有真相”，首先你必须画一个草图，并在图中找到这两个30度角。老黄已经标在图中了。这是一个葬送了很多高考学子的大学梦的“棺材”。

然后开始逐一检验四个选项。先看A选项。我们可以在图中找到一个包含AD的含30度角的直角三角形AB1D.

很明显，2AD=B1D, 而B1D是长方体的体对角线，它一定会比棱AB长，因此AB<2AD。A选项错误。

再看B选项，首先我们必须找到B选项中所描述的这个线面夹角。它其实就是侧面BAA1B1上的角BAB1. 而在含30度角的直角三角形BB1D中，斜边B1D=2BB1，又B1D是体对角线，一定大于面对角线AB1，所以2BB1>AB1. 如果角BAB1是30度角，那么应该有2BB1=AB1，因此产生矛盾，所以角BAB1不是30度角，B选项错误。

那C选项呢？由下图可知，AC1=A1C，因为它们都是长方体的体对角线。假如C选项是正确的，即AC=CB1的话，那么直角三角形ACC1就与直角三角形CB1A1全等，从而有CC1=A1B1。接下来证明这两条棱并不相等。当然，这其实是一眼就可以看出来的。但从严谨的角度来说，还是需要证明的。

为了描述方便，我们记CC1=A1B1=a，那么三角形AB1B就是等腰直角三角形，从而斜边AB1=根号2 a, B1D等于AB1除以cos30度，就等于2AB1/根号3，也就等于2根号6 a/3.

这样sin角BDB1=BB1/B1D=根号6/4. 但这是一个30度角，正弦应该等于1/2。说明前面假设CC1=A1B1是错误的，因此C选项错误。这个选项可以说是最难检验的了。

前面已经检验ABC都是错误的，那正确的答案自然就是D了。不过在平时，我们还是要把D选项也检验一下的。

回到第一个图，首先要把D选项所描述的线面夹角找出来，它就是角CB1D. 由于CD垂直于CB1，所以只需证明CD=CB1，就可以证明三角形CDB1是等腰直角三角形，从而底角CB1D就是45度角。

为此，记BB1=b，那么B1D=2b，DB=根号3 b，因为它们是含30度角的直角三角形的三边。还是一样的关系，有AD=B1D/2=b，AB1=根号3b. 原来这两个含30度角的直角三角形是全等的。

A1B1=根号内(AB1^2-AA1^2)=根号2 b，其中AA1=BB1=b. 因为CB=AD=BB1=b, 所以三角形BB1C是等腰直角三角形，因此CB1=根号2 BB1=根号2 b=CD. 从而可知角CB1D=45度，D选项正确。

如果没有很好的空间想象能力，不要说解决这道题了，可能连看懂上面的分析过程，都很费劲吧。