2022安徽中考数学压轴题分析2：正方形与等腰直角三角形综合题

【题目】

（2022·安徽）如图，四边形是正方形，点在边上，是以为直角顶点的等腰直角三角形，分别交于点，过点作的垂线交的延长线于点．连接，请完成下列问题：
　　      °；
若，，则　　      ．

---

【分析】
（1）本小题比较简单，猜测或测量都可以得到结论为45°。那怎么证明呢？
由于是等腰直角三角形，所以容易得到。得到，，所以可以得到，进而得到为等腰直角三角形，所以可以得到。

（2）本小题也不太难，但是要直接求并没有那么容易。观察的位置，可以发现，可以考虑延长与交于一点，利用相似得到结论。先根据平行，可以得到，然后再根据。代入数值可以得到。

当然，本小题的解法是多样的，还可以考虑过点F作CD的垂线，分别求出DM与CN的长，把CD的长度减去它们的长度即可。

---

【答案】
（1）；
（2）．

本题其实是一个常见的模型，在各大考试中都会出现。题目来源于人教版八下数学的复习题中。

如果四边形ABCD是正方形，点E在BC边上，△AEF为等腰直角三角形，那么可以得到很多的结论。

连接CF，可以得到∠DCF=45°，也就是说当点E运动时，点F的轨迹为线段。此时如果连接DF，要求DF的最小值，那么只需要过点D作CF的垂线段即可。

设AF与CD交于点G，那么就可以得到一个熟悉的半角模型，也就是说BE+DG=EG，那么进而可以得到EF平分∠CEG，也就是说∠CEF=∠GEF。