【题目】 (2022·兰州)综合与实践 【问题情境】 数学活动课上,老师出示了一个问题:如图1,在正方形ABCD中,E是BC的中点,AE⊥EP,EP与正方形的外角∠DCG的平分线交于P点.试猜想AE与EP的数量关系,并加以证明; 【思考尝试】 (1)同学们发现,取AB的中点F,连接EF可以解决这个问题.请在图1中补全图形,解答老师提出的问题. 【实践探究】 (2)希望小组受此问题启发,逆向思考这个题目,并提出新的问题:如图2,在正方形ABCD中,E为BC边上一动点(点E,B不重合),△AEP是等腰直角三角形,∠AEP=90°,连接CP,可以求出∠DCP的大小,请你思考并解答这个问题. 【拓展迁移】 (3)突击小组深入研究希望小组提出的这个问题,发现并提出新的探究点:如图3,在正方形ABCD中,E为BC边上一动点(点E,B不重合),△AEP是等腰直角三角形,∠AEP=90°,连接DP.知道正方形的边长时,可以求出△ADP周长的最小值.当AB=4时,请你求出△ADP周长的最小值. 【分析】 (1)AE与EP相等,即△AEP为等腰直角三角形。证明方法根据提示即可。 得到△MBE为等腰指教三角形,再根据ASA得到△AME≌△ECP。 无论点E是否为中点,结论都成立。 (2)本小题修改了条件把AE=EP这个结论改为条件,把CP这个角的平分线改为结论,可以发现∠DCP为45°。 作法与上题一样,在AB上取一点N,使得BN=BE,连接EN。 得到△BNE为等腰直角三角形,然后再得到△ANE≌△ECP(SAS)。 (3)在(2)的结论下,可以得到点P在正方形的外角平分线上运动,即点P的轨迹线段,点P为定点,点A、D为动点,使得△ADP的周长最小属于将军饮马问题,作对称即可解决。 作点D关于CP的对称点D′,连接AD′与CP交于点P′。 此时A、P′、D′三点共线,△ADP的周长为AD′+AD的值,为4+4√5。 【总结】 本题解法多样,具体可以看前面的两个链接。 【母题溯源】 人教版数学·八年下·第十八章·复习题·第14题·P69 题目的结论把证明AE=EF,变为求CF与BE的关系,本题的关键还是在于证明AE=EF. 《中考数学压轴题全解析·解答题》第140页还有更多与正方形有关的模型介绍: |
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