相似三角形性质的应用

一个大风子 2022-09-06 发布于黑龙江

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相似三角形的性质定理主要有以下几条：

性质1：相似三角形的对应角相等、对应边成比例；

性质2：相似三角形的对应角平分线之比、对应高之比、对应中线之比等于相似比；

性质3：相似三角形的对应周长之比等于相似比，对应面积之比等于相似比的平方。

书写细节：

1、相似三角形性质的应用的前提条件是“相似三角形”，很多同学在运用时会忽略这个大前提，而直接书写，需要注意前提条件；

2、对于性质2的运用，很多同学在书写时会忽略“中线、高、角平分线”的条件，而直接书写“中线(高、角平分线)之比等于边之比”，这样的逻辑段也是不成立的，因此在书写时，首先先证明三角形相似，再罗列高、中线、角平分线等条件，最后得到相关比例式。

3、对于性质3，很多同学会忽略“相似三角形的面积比等于相似比的平方”，还有在开平方和平方时，思路不清，因此在书写时不能跳步，按照完整的书写顺序推进。

相似三角形性质2的应用

三角形内接四边形问题

“相似三角形的对应高之比等于相似比”的具体应用主要在于三角形的内接四边应用，这部分的内容一直是往年一模的“热题”，可以点击以下三个链接进行学习。

相似三角形性质2的应用

与角平分线相关的几何证明

当出现角平分线时，往往很难将其与三角形的性质相联系，下面这道题充分地体现了如何利用形似三角形的性质化解几何证明问题。

解法分析：本题的背景是高和角平分线相结合的题目，乍一看，图形中线段很多，但是根据已知条件中的等积式，可得两个相似三角形：▲ABD与▲OCD，因此本题的第一问借助相似三角形的性质1，可以得到CE⊥AB；本题的第二问求证中的线段AG和线段AF恰好是两个三角形的角平分线，因此目标变为证明▲ADE与▲ABC相似，但是这两个三角形仅仅有一个公共角，因此通过线段的转化可以证明▲ABD和▲ACE相似，继而得到▲ADE与▲ABC相似。

相似三角形性质3的应用

相似三角形与面积相关的性质一直是同学们认为的难点。题目中常常涉及以下三类问题：

类型1:A型图中的面积比和线段比

解法分析：本题的是已知线段比求面积比，因此对于三个三角形(四边形)的面积比的关键是要找到中间量，一般中间量首选最小的三角形，这样在计算和逻辑上都比较清楚。

解法分析：本题的是已知面积比求线段长度，和问题1的最大不同是，此时求线段的长度涉及到开平方运算。如求DE的长度，需要找准DE所在的▲ADE和BC所在的▲ABC，两个三角形的面积比为1:3，因此线段比为1:√3，以此类推。

类型2:借助中间量计算面积比

解法分析：本题的是求两个不相似也不是同高的两个三角形的面积比，对于解决此类问题，我们往往需要寻找中间量，进行转化，这个中间量就是四边形DECB。

本题的第一问结论，根据线段关系勾勒出两个相似三角形▲ADE和▲ABC，但这两个三角形只有一组等角，还缺一组条件。根据已知条件中的等积式，可以得到▲EFC和▲FDB相似，继而得到∠AED=∠B，从而利用“两角对应相等的两个三角形相似”得证。

本题的第二问需要借助第一问的两组相似三角形的面积比，以及借助中间量四边形DECB，进行面积的转化。

类型3:利用面积比简化几何证明

当结论中出现线段比的平方，有如下解决路径：将不含平方的线段比转化为三角形的面积比(一般来说都是等(同)高的三角形)，然后再去证明这两个三角形相似，将面积比转化为线段比的平方即可。

解法分析：根据题意，本题的第一问中的线段所属的两个三角形分别是▲ADC和▲BCD，通过角的转化，借助“两角对应相等的两个三角形相似”得证。