【原】你的数学思维进化了吗？从深圳中考的一道真题说起

有时候深奥的道理，不是从复杂的问题中发现的，反而是从简单的问题中反映出来的。比如从中考数学的一种简单题型中，就可以看到数学思维的一个进化过程。这种题型就是“先化简，再求值”，一种简单到不能再简单的题型。下面老黄以2022年深圳中考数学中的类型题为例，给大家讲解讲解，分析其中的道理。

先化简，再求值：((2x-2)/x-1)÷((x^2-4x+4)/(x^2-x))，其中x=4.

分析：多么简单的一道题。小学思维是这样的：先根据四则运算法则，有括号先算括号。括号内先通分相减，得到：

原式= (2x-2-x)/x ÷ (x^2-4x+4)/(x^2-x)= (x-2)/x ÷ (x^2-4x+4)/(x^2-x)

注意，千万不要先对2x-2因式分解，那是在自找麻烦。接下来的事情，小学思维就搞不定了，只能运用初中思维，先因式分解，再化除法为乘法，或者先化除法为乘法，再因式分解，也是行得通的。

=((x-2)/x)÷((x-2)^2/(x(x-1)))=((x-2)/x)·(x(x-1)/(x-2)^2)

小学的思维，会运用分数(式)的乘法法则，分母的积做积的分母，分子的积做积的分子，然后再约分，得到

=((x-2)x(x-1))/(x(x-2)^2)=(x-1)/(x-2).

初中的思维则会直接对两个分式相乘进行约分，也会得到相同的结果。最后把x=4代入(x-1)/(x-2)，就可以得到：原式= (4-1)/(4-2)= 3/2.

整个解题过程整理如下图：

这样似乎已经很简便了。但如果到了中考的时候，你还要这样解这类题的话，那数学思维方面可能就落后得太多了。中考思维应该是这样的：先确定因式，可以发现，一级运算有两个因式（一个是被除式，一个是除式）。同步对它们进行化简，其中：

(2x-2)/x-1= (x-2)/x；

(x^2-4x+4)/(x^2-x)= (x-2)^2/(x(x-1))。

即原式=((x-2)/x)÷((x-2)^2/(x(x-1)))。

注意：除法也是可以直接约分的。和乘法约分不同的是，乘法约分是分子和分母约，而除法约分则是被除式的分母和除式的分母约，被除式的分子和除式的分子约。因此就可以直接得到最简的式子形式了。最后代入x=4，就可以得到结果了。整个解题过程整理如下图：(注意两种解法数学语言上的区别)

两个解法对比一下，看出差距了吗？看似差别不是很大，其实差了十万八千里。这个差距不是两种解法使用的笔墨多少可以反映的。

思维进化后，才有可能进入更高的数学思维层次。一直保留在低水平的数学思维，那么就很难在数学思维上有所突破。那些解这类题目都有困难的考生，就是因为缺乏数学思维，甚至还低留在小学低年级的数学思维水平导致的。

另外，在思维的宽度来看，解2显然也得到了拓广。甚至问题复杂化之后，就会对数学思维的层次提出更高的要求。比如上面提到的除法约分，你有没有想过，乘除混合的时候，该怎么约分？另外，有没有想过这道题是否可以先运用乘法分配律试一试，这些都是思维宽度的问题。

最后，如果你的数学思维不提升层次的话，高中数学是绝对学不好的，就更遑论高等数学了。