初中数学：《分式》的考点与失分点

前言：为迎接2019年中考，特把初中数学的知识进行梳理，做成了一份很实用的资料，基本囊括了中考所有必考考点，其中有基础知识，也有拔高训练，从前到后、由易到难，希望对学生有所帮助.

此系列前两篇是：《实数相关考点及试题》与《代数式及其求值》，这是第五篇，主要学习分式的相关知识.

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【考点一】分式的相关概念及基本性质

1. 定义：形如A/B(A，B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子，A叫做分子，B叫做分母．

2. 满足分式的有关条件

(1)分式A/B有意义的条件是B≠0；分式A/B无意义的条件是B＝0；

(2)分式A/B的值为零的条件是A=0且B≠0．

3. 分式的基本性质

分式的分子与分母都乘或除以同一个不等于零的整式，分式的值不变．

4. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式．

【考点二】分式的运算

1. 约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去．

约分的关键是确定公因式．确定公因式的方法：(1)分子、分母能因式分解的先因式分解；(2)取分子、分母中相同因式的最低次幂(数字因式的最大公约数)作为公因式．

2. 通分：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．

通分的关键是确定几个分式的最简公分母．

3. 确定最简公分母的方法：(1)先观察各分母，能因式分解的先因式分解；(2)取各分母公因式(数字因式取最小公倍数)的最高次幂；(3)对于只在一个分母中含有的因式，则连同它的指数作为最简公分母的因式．

4. 分式的运算法则

(1)加减法

①同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减.

②异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后相加减.

(2)乘法：分子×分子，分母×分母，然后约分为最简分式.

(3)除法：先变成乘法，然后按乘法法则运算.

5. 分式化简求值题的解题步骤

(1)不含括号：若为加减运算，按照从左到右进行，若有乘除运算，则先乘除后加减，具体如下：

①分子分母能因式分解的先进行因式分解；

②进行乘除运算(除法变乘法)；

③约分，进行加减运算；

④代入相应的数字或式子，求代数式的值(代入数值过程中要注意使原分式和化简过程中的分式都有意义)．

(2)含括号：①去括号：括号内通分；②其余同上．

【提示】①凡遇到分式中的分子和分母是多项式，先分解因式，再约分和通分；②结果必须化成最简分式．

有两个容易失分的地方：①分式化简通分时符号出错；②分式化简求值中选值错误.

分别举例如下：

【失分点1：典例】（2018安顺）先化简，再求值：

错解：

上述解题过程从第一步开始出现错误：-x-2=-（x-2），正确解读如下：

因为|x|=2，所以x=±2，当x=2时，原分式中的分母=0，故x=2舍去，当x=-2时，原式=-1/2.

【点评】(1)整体意识：在分式和整式加减运算中，通常把整式看成一个整体，化成分母为“1”的式子，再进行通分计算；(2) 符号意识：分式化简过程中要特别注意常见的符号变形，如x－y＝－(y－x)，－x－y＝－(x＋y)等．

【失分点2：典例】（2018鄂州）先化简，再从-3，-2,0,2中，选一个合适的数作为x的值代入求值.

解：

要使分式有意义，x≠-3，0,2，所以x只能选-2，当x=-2时，代入上式得到最终结果为-3/2.

【点评】对于分式化简求值题，若为自选数值代入时，所取字母的值不仅要使原式有意义，即保证分母不为0，还要使化简过程中出现的分式有意义．

【两个失分点的配套练习】

1、化简：

2、先化简，再求值：

其中x是从－1、0、1、2中选取的一个合适的数．

答案：

1、（a-1）/（a+1）

2、化简结果为

x只能取0，代入得最后的值为-1/2.

附：《分式》培优题型（后有答案）

答案：