数学大观念下单元教学促“双减” ——《表内乘法》单元整体设计的思考与实践 为了落实“双减”，在有限的课堂教学中最大限度发展学生的数学素养，我们在教学中不断尝试。受张丹教授和于文国老师的《 “观念统领”的单元教学：促进学生的理解与迁移》的启发，参考“观念统领”单元教学设计模型（如图1所示），我们以数学大观念下单元教学促“双减”为主题开展研究，并结合“表内乘法”进行了单元整体教学设计研究。下面谈谈我们的思考与实践。
图1 “观念统领”单元教学设计模型 一、 确定单元学习主题及具体观念 “表内乘法”单元属于课程内容中的数与代数中的数的运算。“观念统领”下提到数的运算，我们不得不想到数的运算大观念： 四则运算分别是具有共同特点的实际情境的抽象；利用数的意义和联系、运算的意义和联系等可以寻求合理的运算方法；寻找通法是很重要的，“标准算法”基于对数位和计数单位个数的理解；四则运算之间存在着联系，运算的道理是一致的；以上过程中发展了运算能力和推理能力。［1］ 那么在数的运算大观念下，“表内乘法”的单元具体观念又是什么呢？我们通过研读课程标准，分析教材，追问本单元的教育价值，使得数的运算大观念加以具体化，确定“表内乘法”单元具体观念。 （一）研读课标 《数学课程标准（2011）》中将运算能力作为核心概念之一。运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。而运算提到此部分内容要结合具体情境体会整数四则运算的意义；能熟练地口算表内乘法；经历与他人交流各自算法的过程，能运用数及数的运算解决生活中的简单问题。 有研究者认为，小学生的数学认知结构主要是加法结构和乘法结构，而乘法结构是在加法结构的基础上产生的高层次的数学认知结构，是最为重要的结构。［2］四则运算间本身就是有着密切的联系的，如图2所示。加法是一个一个向后数，减法就是一个一个向前数，它是加法的逆运算。乘法是几个几个向后数，它是加法的简便计算。除法是几个几个向前数，它是乘法的逆运算，也是减法的简便计算。因此沟通加法与乘法的联系至关重要。
图2 四则运算之间的关系 （二）分析教材 单元并不局限于教材中固有的单元，而是指具有内在联系、反应共同思想、学生又能迁移的内容的整合。[2]纵观小学阶段的乘法，如图3所示，包括二年级的表内乘法，三上的多位数乘一位数，三下的两位数乘两位数，四上的三位数乘两位数，五、六年级分别学习了小数乘法和分数乘法，这体现了知识层面的进阶。
图3 人教版小学数学乘法编排顺序 我们可以看出，整数乘法是小学阶段乘法知识的基础，而五、六年级后续的两个单元是将乘法的概念和方法等迁移到了不同的数域中。表内乘法既是学生学习乘法的开始，也是今后学习表内除法和多位数乘、除法的基础。 “表内乘法”在教材中分两个单元进行教学，如图4所示，我们将两个单元合在一起进行分析。本单元划分为乘法的初步认识、2-6的乘法口诀、7-9的乘法口诀三节，主要教学内容包括：乘法的初步认识、2-9的乘法口诀、乘加和乘减式题、用所学的计算知识解决问题。
图4 表内乘法单元教学内容 （三）确定单元具体观念 在大观念引领下，研读课程标准与教材分析，追问本单元的教育价值，追问本单元的教育价值，最终确定“表内乘法”单元具体观念。力求体现如下单元具体观念，并运用单元具体观念，统领本单元的学习内容和学习活动：基于实际情境，沟通乘法和加法之间的联系，建构乘法模型；基于乘法的意义编制乘法口诀；从多角度中可以发现口诀中的规律；利用乘法口诀解决实际问题；以上过程发展学生运算和推理能力。
图5“表内乘法”单元具体观念与数的运算大观念对应关系 二、 评估学生先期学习经验，制定TUK学习目标及成果表现 学生对于乘法口诀的先期基础是什么？学生是否可以基于自己对乘法的意义的理解去编制口诀？学生对于乘法口诀还有哪些疑惑或好奇？为此，在本单元学习之前，我们对北京市石景山区爱乐实验小学二年级138名学生进行了学情调研。 （一） 调研问题 1. 你会背乘法口诀吗？你能写一写吗？ 2. 你能根据口诀“五六三十”写出对应的算式吗？ 3. 你知道3×4=12表示的意思吗?可以画一画，写一写。 4. 你对乘法口诀有哪些好奇或者疑问？ （二） 调研结果 1. 调研问题1统计结果（见表1）。 表1 调研问题1统计结果
2. 调研问题2统计结果（见表2）。 63.8%的学生能写出口诀“五六三十”对应的算式，当中又有9.4%的学生完全掌握口诀所对应的算式，沟通乘法与加法的联系。有37.7%完全不知道口诀的含义，因此不会写算式。 表2 调研问题2统计结果
3. 调研问题3统计结果（见表3）。 73.2%的学生能清楚地表达乘法算式的意思。并且使用了画图、加法算式、语言描述等方式。 表3 调研问题3统计结果
4. 调研问题4结果反馈（见表4）。 学生对乘法口诀提出了很多有意思的好奇的问题，就像一个锦囊，打开后发现里有无数惊喜。他们的问题大致可以分为四类。 第一类问题在问乘法的意义和乘法口诀的意义。比如“为什么要有乘法口诀呢？”“乘法和加法有什么不一样?”“为什么1×1=1？”“为什么是五六三十而不是五六二十呢？”“九九不是18吗？为什么是81？” 第二类问题在问乘法口诀的结构。比如“为什么3×1这样的算式在口诀里不说？”“为什么每列都少一个？”“为什么乘法口诀得数比十大以后就没有'得’字了呢？” “为什么像四四十六、九九八十一这种口诀只能写出一个算式？”“为什么有表内乘法口诀和表外乘法口诀”“为什么口诀只到九九八十一呢？” 第三类问题在于乘法口诀的应用。例如“它能用在哪儿？”“乘法口诀真的可以无穷乘下去吗？”“为什么要分表内乘法口诀和表外乘法口诀？” 第四类算作科普类的问题。如“乘法口诀是什么时候诞生的？”“第一个创造乘法口诀的人是谁？ 表4 学生对乘法口诀提出的问题分类
这些问题都真实地反映了学生的好奇心。这些源于学生好奇心的真实提问正是最宝贵的思维火花，这些思维火花一触即燃，能够引领学生自主探究和发现。因此，这些都是本单元学习任务设计的宝贵资源。 （三） 制定TUK学习目标 “观念统领”单元教学的核心目标是意义理解和自主迁移，就学习目标而言，不仅包括需要掌握的知识和技能（知识技能目标，简称K目标），更为重要的是依据具体观念设定的意义理解目标（U目标）和迁移目标（T目标）。［3］ 表5 “表内乘法”的TUK目标
三、 形成学生思考的关键问题及关键问题的子问题 “观念统领”单元教学的重要原则是围绕重要内容进行深度探究，而学生的探究是在问题的引领下展开的。［3］我们依据确定的单元具体观念，TUK目标，确定了本单元学生学习的关键问题及关键问题的子问题，如表6： 表6 “表内乘法”单元学生思考的关键问题
四、 架构单元学习任务序列 根据学生的年龄特点和学习规律，将上述的关键问题进行进一步分解，同时梳理分析教材中的学习任务，我们设计了本单元的学习任务序列（如图6）。
图6 “表内乘法”单元的学习任务序列 下面谈谈对于单元学习任务序列的设计思路。 我们将课型分为关键课、迁移课、练习课、拓展课、复习课。这个单元中我们希望通过关键课让学生经历编制口诀的过程，知道口诀是怎么来的，再通过类比推理的方法进行迁移课的探究；在练习课和拓展课中进行阶梯练习，复习课进行回顾反思。 （一） 多种表征方式，突出乘法意义的教学，为编制口诀奠定基础 乘法的意义是学习乘法口诀和用乘法解决问题的基础。如前面的学生调研所述，部分学生没有接触过乘法和乘法口诀，即便有的孩子接触乘法或者会背口诀，也对意义理解的不深刻。因此关键课要通过多种表征转换，突出乘法意义的教学。什么样的加法算式可以用乘法算式来表示?乘法算式表示什么意思？通过关键问题引领，多种方式表征转换，让学生初步感受乘法简洁以及沟通几个相同加数的和与乘法的关系。 （二） 尊重学生已有经验和认知，迁移编制乘法口诀经验及方法 建构主义认为，学生只有在自己原有认知结构的基础上学习和探索新知识，并将新知识与已有知识经验建立练习，形成知识的结构化，才能形成对知识深刻地理解。 我们把编制5的乘法口诀作为关键课，就是基于学生会“五、十、十五……”5个5个数数的基础，先让学生经历编制5的乘法口诀，充分利用学生已有经验和认知，特别是从基于部分儿童对乘法口诀意义的困惑，重点在理解口诀意思上下功夫，鼓励学生从多种角度表达出对口诀意思的理解，同时为学生放手编制口诀奠定一定的基础。 有了编制5的乘法口诀获得的经验和思路，基于学生上体育课比赛的真实活动，帮助学生尝试独立编制2、3、4的乘法口诀，唤醒儿童对乘法意义的理解，认识口诀的排列方式，尝试从多种角度表达口诀的意思，体会编制口诀的方法。 后面整合编写6-9的乘法口诀，还是在前面经验和方法的基础上进行迁移，鼓励学生自己编制口诀。 （三） 问学交融，解决自己提出的问题 教学中最难能可贵的就是问学交融。在调研结果中，学生们提出了丰富的问题，在课堂中他们解决自己提出来的问题更感兴趣，也更有成就感。 例如在观察乘法口诀表规律的时候，就可以让学生回归到他们自己的提问，“为什么3×1这样的算式在口诀里不说？”“为什么每列都少一个？”“为什么乘法口诀得数比十大以后就没有'得’字了呢？” “为什么像四四十六、九九八十一这种口诀只能写出一个算式？”学生通过横着、竖着、斜着多角度有序地观察，在全班交流中，他们不但可以表达出规律，还能解释为什么有这样的规律。在有序观察、抽象概括、交流表达中，学生进一步理解口诀的意义，感悟到口诀之间的关联，推理能力得到发展。 又如我们根据学生的提问“为什么有表内乘法口诀和表外乘法口诀？”“为什么口诀只到九九八十一呢？”我们设计了续编口诀，看看有没有表外乘法呢？乘法口诀是否可以多编一些呢？在续编口诀的过程中，学生体会到了编制更大数口诀有困难，随着计算的数越来越大，学生感受到结果不易推理，口诀也不押韵，越变越不想编了。通过拓展课学生续编口诀，更加认同我国语言文字的独特魅力，增强民族自豪感。 “是不是因为难编所以人们就不编制了呢？”“还是口诀到九九八十一就够了呢？”我们又设计了拓展课让学生尝试利用口诀解决12×7并交流方法。 还是基于来源于学生的问题设计我们的教学。“乘法口诀是什么时候诞生的？”“第一个创造乘法口诀的人是谁？“它能用在哪儿？”我们根据以上问题设计了拓展课“传统文化中的数学”和“根据乘法口诀讲数学故事”。就是为了让学生能够追根溯源，更深入的了解乘法口诀，理解口诀的意义。 （四） 注重培养学生初步的应用意识和解决简单问题的能力 我们非常注重培养学生初步的应用意识和解决简单问题的能力。并设计很多注重应用的练习课和拓展课，以加深学生对乘法的理解和对口诀应用的熟练度。如我们分层次的设计了三个练习课，还在练习课的基础上进行拓展课。只有学生将乘法的意义以及口诀内化于心，才能讲出属于自己的口诀数学故事。 在数学大观念引领下，我们开展的“表内乘法”单元的教学实践，由教学用书上的建议23课时教学，通过整合，缩减到16课时。缩减的是时间，不变的是教学内容，提高的是学生的数学素养及运算能力。这不正是“双减”希望我们能够达到的吗？任重道远，砥砺前行，摸索实践还在继续…… 参考文献 [1]张丹. 用"结构"的力量促进学生的理解和迁移[J]. 小学数学教师, 2020. [2]孙昌识, 姚平子. 儿童数学认知结构的发展与教育[M]. 人民教育出版社, 2005. [3]张丹，于国文. “观念统领”的单元教学：促进学生的理解与迁移［J］. 课程·教材·教法，2020（5）.  |
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