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如何探索“和与积的奇偶性” 一、形式探究的多样 1、探究两个加数： ①任意举例 5+7=12、6+8=14、8+11=19、74+55=129、64+21=85 ②尝试说理 如果任意一个偶数可以表示为2n、奇数表示为2n+1，那么就会有三种相加情况： 2n+2n=4n 偶数、2n+（2n+1）=4n+1 奇数、（2n+1）+（2n+1）=4n+2 偶数 所以，两个自然数相加的和不是奇数就是偶数。 （初步感知和的积偶性表象） 2、探究三个加数 ①任意举例 1+2+3=6、2+3+4=9、3+4+5=12、4+5+6=15 3+6+7=16、8+10+11=29、8+10+16=34、7+11+23=41 ②尝试说理 同样任意一个偶数可以表示为2n、奇数表示为2n+1，那么三个数相加就会有四种情况： 2n+2n+2n=6n 偶数、2n+2n+（2n+1）=6n+1 奇数、2n+（2n+1）+（2n+1）=6n+2 偶数、（2n+1）+（2n+1）+（2n+1）=6n+3=6n+2+1 奇数 因此，三个自然数相加的和不是奇数就是偶数。 （初步感知和的积偶性的影响因素） 3、探索四个及以上个数的加数 ①任意举例 1+3+5+7=16、2+4+6+8=20 1+2+3+4=10、3+4+6+8=21、2+3+5+7=17 1+2+3+……+99+100=5050、1+2+3+……+99+100+101=5151 ②尝试说理 例如1+2+3+……+99+100=5050，其中奇数与偶数分别有50个，这些偶数与奇数如果分别用2n和2n+1来表示，那么这个算式可以表示为：2n+1+2n+2n+1+2n+2n+1+……+2n+1+2n，这样就会出现100个2n相加和50个1相加，而100个2n相加的和是偶数，50个1相加相加的和也是偶数。 对于1+2+3+……+99+100+101=5151来说，如果也用2n和2n+1来表示奇偶性，就会出现101个2n相加和51个1相加，其中101个2n相加的和仍是偶数，而51个1相加相加的和却是奇数，所以最终结果为奇数。 （进一步认识和的积偶性与奇数个数的关系） 二、判断模型的概括 1、概括“和奇偶性”的模型 在一个加法算式中，所有的加数要么是奇数要么是偶数，那么它们的奇偶性都可以用“2n”或“2n+1”的形式来表示。就像1+2+3+……+99+100的和的奇偶性，可以用2n+1+2n+2n+1+2n+2n+1+……+2n+1+2n来表示，而最终决定这个算式奇偶性的竟是“1”的个数，也就是算式中奇数的个数。所以，和的奇偶性与加数中奇数的个数有关，当奇数个数是一个、三个、五个、……、五十一个等，得到的和是奇数；当奇数个数为两个、四个、六个、……、五十个等，得到的和是偶数。 因此，直接数算式中奇数个数就可以判断和的奇偶性。如果算式中奇数的个数是奇数，和就是奇数；如果算式中奇数的个数是偶数，和就是偶数。 2、模型验证与运用 判断下列算式和的奇偶性，并验证上面的结论。 ①1+3+5+7+9 ②2+4+6+8+10 ③1+2+3+6+7+9 ④1+3+5+……+29 显然，第一题中有5个奇数，和是奇数；第二题中没有奇数，和就是偶数；第三题中有4个奇数，和是偶数；从1数到30有30个数，中间有15个奇数、15个偶数，第四题是从1到30中的奇数相加，所以有15个奇数，所以和是奇数。 三、对比加法探究乘法 如果把连加改成连乘，这个结论还成立吗？ ①1×3×5 ②2×4×6 ③1×3×5×2 ④1×3×5×7 显然，①②是成立的，③④不成立。 看起来这样一个结论是不能在乘法中应用的，那么连乘运算得到的积是奇数还是偶数该如何判断呢？ 寻找乘法中乘数的奇偶性就会发现：只有当乘数都是奇数时，积才能是奇数，只要有一个乘数是偶数，积就是偶数。因为乘数都是奇数时，得到的积就没有因数2，也就不是2的倍数，只要有一个乘数是偶数，得到的积里面就含有因数2，也就是2的倍数。
可见，让学生经历这种用合情推理的方法，去说明发现结论的正确性，不但可以抓住数学规律的本质，而且可以培养和发展归纳、类比等合情推理的能力。最后再通过规律的应用与对比，又使演绎推理能力得到锻炼。 |
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