【原】向山上抛掷物体

根据抛射体的运动原理推导炮弹的运动轨迹，求解击中目标所需要的发射参数。

设想从平地向一座高山开炮，山上的目标的高度 以及离开发射点的水平距离 可以从地图上查出，利用这两个数据，根据抛射体的运动原理可以导出炮弹的运动轨迹，从而得到击中目标所需要的发射参数。

如果发射点是可以移动的，并且所要打击的目标在高山正对发射点的一面，则可以选择一种特殊的发射方式， 让目标位于弹道的顶点处。在这种发射条件下，无需再做详细的数学推导，直接借用前面讨论抛射体的运动时的条件设定和已有的结果：

可以直接用这两个方程解出目标的水平距离  和发射角  ，按照计算结果移动炮位和调整炮管的仰角。也可以先由弹道方程的这两个坐标推导发射角 与目标仰角 之间的关系：

把这个关系代入弹道方程的纵坐标表达式 (2) 式中，利用三角函数的性质做简单的代数整理就得到

再将这个水平距离代入 (3) 式就可以得到所要的发射角。将大炮移动到由 (4) 式算出的水平距离 处，调整发射角使其满足 (3) 式，就能够击中目标。

如果发射点是固定的，或者目标不在正对发射点的一面，而是隐藏在山的背面，就必须利用已经得到的炮弹的运动轨迹方程：

想让炮弹击中山上的目标，炮弹的运动轨迹必须经过这个目标，它的坐标为 。将目标的坐标代入 (5) 式：

对这个等式做简单的整理就得到

山上的目标的高度是固定的，大炮发射炮弹的速率也是确定的，两者都不能被改动。在现在的情况下，由于发射点是固定的 (如果目标隐藏在山的背面，可以先选择一个合适的发射点)，目标与发射点的距离也是确定的。为了能够击中目标，只能按照 (6) 式调整发射角。(6) 式是一个关于发射角的超越方程，所谓超越方程指的是含有变量的非多项式函数的方程。求解超越方程并不是一件容易的事情，有时候甚至是一件相当繁琐的事情。幸运的是，如今的计算技术足以应对这样的工作。

这个问题也可以通过选择另一种坐标系进行求解。由于山上的目标是在发射点的斜上方，因此，选择发射点为坐标原点，发射点与目标的连线为 轴，从原点指向目标为正方向，与连线垂直的直线为 轴，指向斜上方为正方向。在坐标系的这种选择下， 轴对水平方向的仰角满足 ，物体的加速度为

假设大炮朝着与 轴成 角的方向开炮，则发射角 。由于原点选在炮位处，因此，炮弹的初始位置 。如果大炮以 的速率发射炮弹，则炮弹的初速度

利用上述已知条件，以发射时刻做计时的起点，求解运动学微分方程，就可以得到炮弹的位置对时间的依赖关系。在这个问题中，由于已知条件的表达式稍微复杂了一点，为了表述的清晰起见，我们用矢量的分量表达式进行求解。

先利用加速度的表达式 (7) 式和初速度的表达式 (8) 式求出速度对时间的依赖关系：

有了速度的表达式，对它再求一次积分，得到位置矢量的表达式：

在按照上述方式选择的坐标系中，目标的位置为 。利用 的要求，由纵坐标的表达式 (10) 式解得炮弹将在

时刻击中目标。把这个时刻代入横坐标的表达式 (9) 式中，并利用此时炮弹的位置应该在 处这个条件，经过稍嫌冗长的公式推导就可以得到：

这正是用第一种坐标系的选择方式进行求解得到的结果。

还有一个问题。在上面的推导中，我们并没有考虑山峰的高度。如果目标隐藏在山的背面，为了击中目标，山峰的位置必须处于弹道的下方。如何解决这个问题呢？假设山峰的高度为 ，与炮位的水平距离为 ，请思考这个问题。

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