《算术与几何的妙趣》点的分布难题

请先看第一个断言 A：

在单位面积三角形内任意画出 9 个点，即可找到其中 3 个点，使其构成的三角形的面积小于或等于 1/4。

构成面积小于或等于 1/4 的三角形的 3 个点必然相互靠近。这里确定了一种具有明显“定性规则”的特殊形式：在图形内放置很多点，其中一些必然相互靠近。这里，“很多”就是 9 个，“相互靠近”即意味着“其构成的三角形的面积小于或等于 1/4”。

该结果的证明过程展现了一种推理方法——鸽笼原理，有时也叫作“狄利克雷抽屉原理”。如果在黑暗中从放着红色和黑色袜子的抽屉里找出一双相同颜色的袜子，取出三只袜子就足够了，其中两只一定拥有相同颜色。

该原理的一般表述如下：将 nm ＋ 1 只鸽子放进 m 个笼子里，至少有一个笼子里有 n ＋ 1 或以上只鸽子。将 9 只鸽子放进 4 个笼子里，不可避免有一个笼子里有 3 只或 3 只以上的鸽子。

证明十分简单。设 nm ＋ 1 只鸽子放在 m 个笼子里，若 m 个笼子 中的每一个均包含 n 只或 n 只以下鸽子，则总共包含 nm 只或 nm 只以下的鸽子，这与假设不符。因此，必有一个笼子里包含 n ＋ 1 只或 n ＋ 1 只以上的鸽子。当 n 等于 1，若将 m ＋ 1 只袜子放进 m 个抽屉里，其中一个抽屉必定会包含两只或更多的袜子。

现在来证明断言 A。

将三角形各边中点两两相连，三角形被分割成 4 个相等的三角形，且面积均为 1/4（参见“三角形的 S(T) 常数”）。若将 9 个点放在单位面积的大三角形里，四个面积为 1/4 的三角形的其中一个就包含至少 3 个点（若每一个小三角形最多只包含 2 个点，则总共只有 8 个点）。于是，这 3 个点限定了一个三角形，其面积小于其所在面积为 1/4 的三角形。

9 个点太多了。我们拿 8 个，甚至 7 个点，能得到一样的结论吗？答案是肯定的：7 个点（8 个点也可以）能足够保证面积小于或等于 1/4 的三角形的存在。这就是断言 B：

在单位面积三角形内任意画出 7 个点，即可找到其中 3 个点，使其构成的三角形的面积小于或等于 1/4。

1. 鸽笼原理

若将 k 个物体放在 m 个抽屉中，且 k > nm，那么至少有一个抽屉包含多于 n 个物体。当n＝1时，我们得出结论：若将n＋1 个或者更多物体放在 n 个抽屉里，其中一个抽屉必然包含最少两个物体，如同图中格子里的鸽子。这个原理虽然简单，却常常很有用。

• 若13人相遇，最少两个人是同一个月份出生；若25人相遇，最少三个人是同一个月份出生。

• 若取1到100之间十个不同的整数 n₁,n₂…,n₉,n₁₀，则存在10个数字的两个子集，其中数字之和相等（例如 n₁ + n₂ + n₇ = n₃ + n₄ + n₉）。为了进一步说明，我们注意到10个数字有2¹⁰＝1024种方法取其子集。每个子集的和都小于1000（因为求和的数字小于10个，每个数字又小于或等于100）。根据抽屉原理，就有两个子集得出同样的求和结果。

证明参见图 2。我们注意到，断言 A 和断言 B，甚至所有将要考虑的断言都和三角形的形状无关。等边三角形、直角三角形、等腰三角形……只要是单位面积三角形即可。

回到断言 B。它固然优于断言 A，但我们还能进一步优化吗？就像从 9 到 7，还能到 6、5，甚至到 4 吗？到了 4 就行不通了，因为 4 个点中前 3 个放在三角形的 3 个顶点上，第四个放在三角形的重心（中线的交点），得到的三角形面积都不会小于 1/4，而是等于 1/3 或 1。

最终的答案是 5。亚历山大·索佛是这条定理的发现者，他将其命名为“五点定理”，即断言 C：

在单位面积三角形内任意画出 5 个点，即可找到其中 3 个点，使其构成的三角形的面积小于或等于 1/4。

我们在此不给出该结果的证明过程了，因为三页纸也写不完。五点定理最著名的三种证明来自亚力山大·索佛（五页）、罗伊斯·彭（三页）和塞西尔·卢梭（三页）。这条定理美丽又非同寻常，而探索并非到此为止。我们将要详述其中两个部分，通过实例展示一个问题如何带来另一个问题，数学家们如何不停地发掘新难题，直至抵达逻辑推理的尽头。

2. 三角形的S(T)常数

单位面积三角形的S(T)常数是所需点数量的最小值，使得任意S(T)个点满足存在以其中3个点为顶点构成的三角形的面积小于或等于1/4。

该常数小于9，如果有9个点，则必有3个点在面积为1/4的三角形内(a)。

S(T)常数大于4，因为可以像图(b)那样放置4个点。

我们来证明“若单位面积三角形内有7个点，存在其中3个点构成的三角形的面积小于或等于1/4”。

首先需要证明“面积为1/2的平行四边形内的3个点A、B、C可限定一个面积小于或等于1/4的三角形”。图c可以解释这个性质。

再来看将单位面积三角形分割成四个面积为1/4的小三角形(d)。中间的小三角形分别和其他三个相连，都构成一个面积为1/2的平行四边形。设想三角形中有7个点，若其中3个在同一个小三角形中，它们就构成了一个面积小于或等于1/4的三角形。证明完毕。

假设换一种情况。至少有一个点在中间的小三角形里。如果有2个点，那么把中间的小三角形和另一个包含一个点的小三角形相连（这样的小三角形必然存在），我们就有一个包含3个点且面积为1/2的平行四边形，即有一个面积小于或等于1/4的三角形。

如果中间的小三角形里只有一个点，那么就是其他的小三角形每个包含2个点（我们已经假设没有一个小三角形包含超过2个点，且除了中间小三角形里的点之外还有6个点）。无论选这3个小三角形中的哪一个和中间的小三角形相连，我们都会得到一个包含（开始给出的点中）3个点且面积为1/2的平行四边形，即有一个面积小于或等于1/4的三角形。

实际上，亚历山大·索佛证明了S(T)等于5。

要知道，索佛不仅因解答了众多数学难题而闻名于世，更是自创难题的高手。他曾和保罗·埃尔德什、约翰·康维等颇具名望的数学家一起发表过文章（因此，索佛的“埃尔德什数”就是 11）。他主张：“我们总有自由向自己提出自创的数学问题，并尽力深入研究。”索佛更愿意把数学看作一门艺术，而非一门应用科学。他参与奥林匹克数学竞赛组织，炮制拥有精妙解法的新谜题。他酷爱那些看似平凡，却会在非凡创意下绽放光彩的谜题。对索佛来说，一位优秀的数学家并不需要具备很多的数学知识，而仅需在面对像我们今天提出的这种小问题时，能设想出进攻得胜的策略。这些策略的优美程度与破题效果同等重要，一波三折最终意外取胜，反而更加有意思。

1“埃尔德什数”是匈牙利数学家保罗·埃尔德什发明的一个参数，用来衡量埃尔德什本人与另一位作者在合著数学论文时的“合作距离”。——译者注

首先，我们会很自然地想到将这一原理推广至三角形之外的其他图形。例如取单位面积正方形或五边形，思考需要放多少个点才能确保其中 3 个点能限定一个面积小于或等于 1/4 的三角形。

索佛提出引入记号 S(F) 来表示对于几何形状 F 的最小整数 m，以此保证在给定单位面积的图形 F 内放置的 m 个点，其中有 3 个点组成一个面积小于或等于 1/4 的三角形。

对于三角形 T，我们知道 S(T) = 5（4 个点不能保证面积小于等于 1/4 的三角形存在，而 5 个点可以）。对于正方形 C，S(C) = 5（试着证明一下该结果）。对于五边形 P，S(P) = 6（参见“多边形的索佛函数”）。

从形状 F 经过仿射变换（例如变换 f (x, y ) = (ax + by + c, a'x + b'y + c' )）得到另一个形状 F'，S(F) 的值不变，因为此类变换保持面积的比例关系。

在 S 函数的相关证明中，有以下两个结果。

• 对任意整数 m，有形状 F 使 S(F) > m（参见“无量大数”）。

• 若 F 是凸图形 C（即只要该形状包含点 A 和点 B，则一定包含整条线段 AB），则 S(C) = 5 或 S(C) = 6。证明这条特性尤其困难，恐怕要占用十来页才能说清。索佛悬赏 100 美元，看谁能分别针对 S(C) = 5 的凸图形或 S(C) = 6 的凸图形，提出有意义的特征描述。

3. 多边形的索佛函数

单位面积图形F的索佛常数 S(F)是最小的整数 m，满足只要图形F内有 m 个点，其中一定有3个点组成一个面积小于或等于1/4的三角形。

对于三角形，m 等于5：如果给定单位面积的三角形中有5个点，其中有3个点可以确定一个面积小于或等于1/4的三角形。这个五点定理目前还没有已知的简单证明(a)。

对于正方形，m 还是等于5并且很容易根据图2的结果证明：“面积为1/2的平行四边形内的三角形面积必然小于或等于1/4”(b)。

对于正五边形(c)，m等于6。只要将5个点放在单位面积正五边形的顶点，我们发现所有能找到的三角形面积都大于（因为这是图中所画三角形的面积）。这意味着，5个点还不足以保证面积小于或等于1/4的三角形的存在，即S(五边形)大于5。

对于平面上的凸图形F，S(F)常数等于5或6；但我们还不能用有意义的方法归纳出哪些凸图形的常数为5，哪些为6。有人能解开这个谜题吗？

4. 无量大数

从图中可以看出平面几何图形的索佛常数S(F)可以要多大有多大。

实际上，设想图 A 中有 m 个辐条的“太阳”。v₁, v₂,…, v_m 这 m 个点中的3个点可能组成的最小面积三角形是3个连续的点（例如 v₁, v₂ 和 v₃）组成的三角形。

我们可以在保持总面积为单位面积的同时，任意拉长辐条的长度。选择足够细长的辐条，三角形 v₁，v₂ 和 v₃ 的面积就会超过1/4。这就证明，对某些“太阳”形状 F，m 个点无法保证在任意 m 边形中存在面积小于或等于1/4的三角形，换句话说，S(F) 大于 m。同样的推理对图B也适用。（让·保罗·德拉耶）