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我们中学时所学习到的平面几何，可以说都属于欧式几何。其中平行线的定义包括三个基本特征:1.在同一平面内2.两条直线,3.不相交。 而关于直线的定义是，在二维平面上的两个点之间有且只有一条直线，也就是我们常说的两点确定一条直线。这些内容最早出现在《几何原本》里，由欧几里得编著。
那么平行线相交到底是怎么一回事呢？ 这就要从两个人说起，罗巴切夫斯基和黎曼，罗巴切夫斯基是非欧几何的重要创始人，是他的质疑打破了人们对几何的认知，从此走出欧式几何，探索更广阔的数学世界，后人称他创造的数学门类为罗氏几何。
而黎曼则是另一个非欧几何中的重要代表，与以上两者不同却又不可分割，可以说是非欧几何的重要奠基人之一，后人称他创造的数学门类为黎曼几何。
欧式几何、罗氏几何、黎曼几何是三种相近却又不相同的几何。在各自的理论推论下都构成了一个严密的公理体系，虽然说都是正确的，但依靠的数学体系是不同的。而在每一种体系中各有一套理论，有个很好的例子，三角形的内角和为180度，这是我们从小要记的在平面讨论的情况，罗巴切夫斯基打破常规地认为三角形的内角和可能小于180度，而黎曼的学说则是证明了三角形的内角和可以大于180度。我们把三角形画在马鞍面和球面上就很好理解了，但这些都是曲边三角形，要想知道其中的定义和证明就要深入研究这两种学说了。
回到平行线的问题，类比刚刚的三角形，我们发现，在曲面上的两条直线，可能出现在平行的假设前提下相交或者相离的情况，甚至在一个球面上过两点可以作无数条直线。这显然不是我们用欧式几何思维能理解的。
那么你可能会觉得平行线相交肯定在现实中是不存在的，或者说是极为少见的，不过事实并不是这样。 爱因斯坦在相对论的基础上，构建了新的宇宙观，其中就指出了平坦的时空只不过是宇宙中小尺度上的特例，在大尺度的对比观察下，时空是弯曲不规则的，非欧几何可以说更贴合宇宙的实质。简单说就是整个宇宙其实是凹凸不平的，存在着很大的曲率，之所以我们观察得出的宇宙近乎平整，但也只能说明我们观察的尺度较小，从整个宇宙的尺度上来说，是不存在绝对的平行线，无限延长的两条线会因为宇宙的曲率相交或者发散，所以平行线相交很多时候是普遍存在的。 就好比在研究地球时，例如航船航空这些路径，就不是简单的欧式几何，我们所讲的直线在地球这个整体看来有很大的弧度，这都归结于球体的曲率。
总的来说，平行线能不能相交取决于它放在哪种数学体系中，而不是简单的直觉判断。 |
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