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被称为 例如，取一个圆，让它绕其圆心随意地旋转任何一个角度，结果得到的图形都与它开始时的图形完全相同。
我们说圆对于绕其圆心的任何旋转是对称的。当然，除非旋转整整360°（或者360°的倍数），圆上每一点的最终位置都与其原来位置不同。然而，尽管图形的各个点都动过了，但图形的样子却仍然与原来一模一样。 圆不但对于绕其圆心的任何旋转是对称的，而且对于其任何一条直径的反射也是对称的。这里的反射，是指将图形上的每一点与所选定直径那一侧正对面的那个点对换。例如，在一个钟面上，关于竖直直径的反射就是将表示9时的那个点与表示3时的那个点对换，将表示10时的那个点与表示2时的那个点对换，如此等等。
圆是不同寻常的，因为它有着许多对称，确切地说，它有着无穷多个对称。而正方形所具有的对称就比圆少。如果我们把一个正方形沿任一方向旋转90°或180°，它的样子不变。但如果旋转45°，它的样子就不同了。过正方形中点且平行于其一条边的直线有两条，关于其中任一条直线的反射也是使正方形样子保持不变的操作。我们还可以对正方形作关于其任一条对角线的反射。
现在，我们已经从一种对“对称”的通常看法，转到了关于对物体所作的一种特定操作的对称这个更为精确的概念上了。让一个图形或一个物体（在形状、位置和方位上）保持不变的操作种数越多，这个图形或物体通常会被认为越"对称"。 因为我们要把对称的概念应用于除几何图形或实际物体之外的东西，因此我们将开始用“变换”这个词而不用“操作”。一个变换取定一已知对象（可能是抽象的对象）并把它转换成其他的东西。变换可以就是平移，也可以是旋转或反射（对于二维图形是关于一条直线，对于三维对象是关于一个平面）。它也可能是拉伸变换或收缩变换。 关于对称的数学研究的重点，是考察作用在对象上的变换而不是对象本身。 对数学家而言，一个图形的一个对称变换就是一个使这个图形保持不变的变换。也就是说，经过这个变换之后，图形的样子从位置、形状和方位等方面来说与原来相同，虽然各个点都可能动过了。 因为平移是可行的对称变换之一，所以将一基本图案不断重复而形成的墙纸是对称的。事实上，关于对称的数学是证明这样一件惊人事实的理论根据∶将一个特定的局部图案不断重复以形成对称性墙纸的可能方式只有17种（有17个平面对称群，证明很难）。在这里可以进行的变换（对墙纸图案的对称变换）必须作用于整个墙面，而不是其一部分。
墙纸图案定理的证明需要严密检查将变换结合起来（例如在进行了一个反射之后接着进行一个沿逆时针方向的90°旋转）而给出新的变换的方式。 结果发现存在着一个怎样把对称变换结合起来的算术，正如存在着一个怎样把数结合起来的算术。在普通的算术中，我们可以把两个数相加得到一个新的数，也可以把两个数相乘得到一个新的数。在对称变换的算术中，你是在进行了一个变换之后接着进行另一个变换而把两个对称变换结合起来的，这样便得到了一个新的对称变换。一个对象的所有对称变换的集合，连同用这种方法把它们结合起来的算术，就是数学家所谓的对称群。 例如，一个圆的对称群包括绕其圆心的所有旋转、关于任一条直径的反射，以及这些变换的任意结合。圆在绕其圆心的旋转下的不变性称为旋转对称；在关于直径的反射下的不变性称为反射对称。 对称群的算术在某种程度上与数的算术相似，但也存在着差别。18世纪后期这个“新算术”的发现，打开了一大批新颖数学成果的大门。这些成果不仅对数学，而且对物理、化学、晶体学、医学、工程、通信和计算机技术都产生了影响。 由于圆的对称群是一个十分简单的例子，我就用它来说明如何对一个群做算术。 设S和T是一个圆的对称群中的两个变换，那么“先是进行S接着进行T”仍然是这对称群中的一个变换。数学家用
表示这个二重变换。这个运算的法则在以下三个方面与数的加法运算法则类似。 第一，这个运算具有所谓的结合律∶如果S，T，W是这个对称群中的三个变换，则：
第二，存在一个恒等变换，任何变换与其相结合结果毫无变化。它就是零旋转，即转过0角度的旋转。零旋转被记为I，它能与任何其他变换T结合，得到：
旋转I在这里的作用与数0在加法中的作用相同。 第三，每一个变换都有一个逆∶如果T是任意的一个变换，则存在另一个变换S，使得这两者结合起来得到恒等变换∶
一个旋转的逆是沿相反方向转过相同角度的旋转。任何反射的逆就是其自身。逆的存在性是我们所熟悉的又一条关于整数加法的性质∶对每个整数m，都存在一个整数n，使得m＋n=n＋m=0。m的逆就是-m，即n=-m。 虽然我们考虑的是圆的对称群，但上述法则对于任何图形或物体的对称变换群来说都是正确的。 一般来说，对于某个由一些事物组成的集合G和一个把集合G中任意两个元素x和y结合起来以得到G中另一个元素“x*y”的运算“*”的时候，如果以下三个条件成立，他们就把这个集合称为一个群∶
这三个条件（通常被称为群公理），就是我们对把任意一个图形的对称变换结合起来的运算所观得到的性质∶结合律、存在恒等变换和逆。因此，一个图形的所有对称变换的集合就是一个群∶G是这个图形的所有对称变换的集合，而*是把两个变换结合起来的运算。 同样应该很清楚的是，如果G是整数集，运算*是加法，那么所形成的结构就是一个群。或者，如果G是除去0以外的全体有理数（即整数和分数）的集合，*是乘法，那么结果得到的也是一个群。你所要做的只是证明，当符号*表示乘法时，上述3个条件对于有理数来说都是成立的。在这个例子中，公理2中的单位元素e是数1。 在群论中，数学家考虑还有什么其他的性质能从这三条群公理自然地推出。例如，条件2断言了一种单位元素的存在性。在整数加法的情况中，存在着唯一的单位元素∶0。这一点是对所有的群都成立，还是它只是整数算术才特有的性质？ 事实上，任何群都只有一个单位元素。如果e和i都是单位元素，那么将性质2连续运用两次，即得到等式
因此e和i必定是同一个元素。 上面这个结果意味着，能出现在条件3中的元素e 是唯一的。利用这个事实，我们接下来就能证明，对于G中任意给定的元素x，存在唯一的G中元素y，满足条件3。 假设y和z都如条件3所述的那样与x相关。也就是说，假设
那么
因此y和z是同一个元素。 既然G中只有一个y如条件3所述的那样与一个给定的x相关，那么就可以给y一个名称∶称它为x的（群）逆，通常记为
任何熟悉算术中交换律的人都很可能会问，我们为什么不把下面这条拿来作为第四条公理
没有这个法则，就意味着在公理2和公理3中，元素的结合必须要写成两种方式。例如，x*e和e*x都出现在了公理2中。 数学家不把交换律列入的理由是∶这样将把数学家希望考虑的许多群的例子排斥在外。用现在这样的方式写出公理2和公理3，而不采用交换律，群的概念会有更广泛的应用。满足交换律的群称为交换群，有时则以挪威数学家阿贝尔的名字称为阿贝尔群。 |
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