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如图，在矩形ABCD中，点E为AB上一点，过点D作DP⊥CE于点P，连接DE交AP于点F，若点P恰好为CE的中点时
(1)求证：△ABP是直角三角形； (2)若BC=3，BE=1，求S△AEF/S△AFD的值； (3)如图2，在(2)的条件下，如果点G、Q分别为DP、DE上的动点，求GF+GQ的最小值. 解：(1)方法1：如图，过点P作PG⊥AD于点G，易知G为AD的中点，故APD为等腰三角形，∠GPD=∠GPA，而∠GPD=∠CDE，∠GPA=∠BAP，得∠BAP=∠CDP同时∠PCD=∠CEB，∠CEB=∠EBP，∠EBP=∠PCD∠CDP+∠PCD=90°，故∠BAP+∠PBA=90°，故∠APB=90°，△ABP为直角三角形 方法2：P为CE的中点，故∠PEB=∠PBE，而∠PCD=∠PEB得∠PCD=∠PBE；同时AB=CD，PB=PC，故△PCD≅△PBA，故△ABP为直角三角形
点评：方法1注重的是角度的推导，要理清这里的关系，需要同学们对等腰三角形和平行角度关系非常熟悉；而方法2直接证明三角形全等，直接干脆.
(2)作FG⊥AB于点G，BC=3，BE=1得EC=√(10),PE=(√(10)/2),易知△PDE~△BCE，得DE=5，tan∠PAB=(1/3)，tan∠DEA=(3/4),设GF=3x，则GE=4x，AG=9x,得13x=4,x=(4/13),EF=(20/13),AF=(45/13).AF:FG=9:4 故(S[△AEF]/S[△AFD])=(4/9)；或者利用右图求比值,同学们可自行求值；
点评：线段的求解，同学们可以利用相似，也可直接利用锐角三角函数来进行求解；第三问的线段最值，整体而言难度并没有想象中的大，非常常规；题目核心的考查仍以相似为主. 关于学霸数学 ＂学霸数学＂专注于数学中考高考考试的最新信息，好题与压轴题解题技巧、知识专题分析以及考试分析与解答，考试动向及政策分析解读、家庭教育相关分享！如果您是家长或学生，对学习方面有任何问题，请联系小编！ |
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