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第18期《线段和差最值》中我们介绍了如下两个几何模型：通过图形变换（平移，旋转，轴对称）将线段变换到指定的位置（如下图中l的同侧或异侧），再借助几个常用的定理求最值.今天，我们再向大家介绍一个关于线段和差最值的几何模型：如图，P为圆O外一点，A为圆O上一动点，圆的半径为OA已知边长为a的正三角形，两顶点分别在平面直角坐标系的轴、轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连结OC，则OC的长的最大值是 （ ）.此题常见的解析方法是：取AB中点D,则OD，CD的长为定值，当O,D,C三点共线时， OC有最大值，此时OC=OD+CD.但是我们怎么想到取AB中点的呢？经验？当然，如果做过一次这种题型，以后都可以凭经验解决，但是第一次是怎么想到的呢？数学学习过程中，思维训练是第一位的，怎么能想到是解决问题的关键，在A,B的运动过程中，我们可以发现一些不变的东西，△ABC的形状和大小都不变，△ ABO是直角三角形，斜边长不变，正面思考不好办，反过来想，固定△ ABC，OA,OB发生变化，此时OA，OB垂直，则O的运动轨迹就是以AB为直径的圆周上，如图设D为此圆的圆心，C为圆外一定点，O为圆上一点，CO的最大值为OD+CD题后记：人们习惯的思维是正向思维，即从条件入手，进行正面的推导和论证，有些问题，从正面求解，思维容易受阻，如此题，平面直角坐标系不动，改变OA,则OB相应改变，△ ABC大小虽不变，但是位置会发生相应变化，OC在何时取得最值不好求解。此时，如果我们动静互换，让△ ABC的位置不变，让坐标系动起来，则坐标原点的轨迹就在以AB为直径的圆周上，此题的问题就转化为了圆外一点到圆上一点的距离的最值.如图，∠ MON=90°，矩形ABCD的定点A,B分别在OM,ON上，当B在变ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到O的最大距离为_______.解析：变化过程中，矩形ABCD的形状不变，固定矩形ABCD的位置，让∠ MON动起来，则O的运动轨迹为以AB为直径的圆周（实际上只有半圆），设此圆的圆心即AB中点为E,则OD的最大值为DE+OE=√2+1.题后记：例1，例2在解决问题的过程中，完全可以采用直接取AB中点E的方法，此时OE,DE为定值，在运动过程中，总有O,E,D共线是，二者之和最大。如图，△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（ ）思路点拨：这道题既利用旋转的性质，又有求线段的最值，不知大家拿到这题作和感想，有时还真不敢想，调查过学生，老师遇到这道题时一般只把具体做法告知，至于为何这样做，貌似也无从谈起。当我们做完例1，例2，再来看这道题目，恍然大悟，如图，觉得有很多相似的地方，△ABC是等边三角形，位置，形状大小固定，在旋转过程中，AC不变，△AMC如果能保持是个直角三角形，则与例1，例2的构成以及方法几乎完全一样.于是我们成功地把问题转化为证明∠AMC为一个直角.D为BC中点，也为EF中点，连接AD,DG，则AD=DG,且∠ ADG为旋转角，同样，根据旋转的性质，CD=CF，且∠ CDF为旋转角。则易得∠DCF=∠DAM（也可以得到A,D,C,M四点共圆）,则∠DCM+∠DAM=180°，则∠AMC=90°.△ABC是一个固定的三角形，旋转过程中永远有∠AMC=90°，则M在以AC为直径的圆周上，如图,设此圆的圆心即AC中点的为O,B为圆O外一点，M是圆O上一点，顺便也可以求出BM的最大值为BO+OM=√3+1.今天介绍的三个题目都是边长变化但斜边不变的直角三角形与固定形状但位置变化的三角形或四边形的问题，通过动静互换分析，转化为固定点与圆上某点的距离的最值问题，熟练之后则能很好解释为何直接取斜边中点解决问题。
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