直角坐标系的前世今生——笛卡尔的真假故事（上）

苏科版八上第五章平面直角坐标系通过探讨数量的变化和位置的变化之间的相互关联，逐步引导大家确定物体的位置，从而引入直角坐标系的概念。这一章是数学从静态的方程到动态的函数转变的基础准备。

那么平面直角坐标系是怎么来的？直角坐标系这一章究竟需要掌握些什么？需要掌握到什么程度？建立平面直角坐标系的意义何在？我们今天就来探讨一下，希望能对大家有所帮助。

平面直角坐标系的来历：

平面直角坐标系也叫笛卡尔坐标系，

关于它的产生有一个传说。

有一天法国哲学家、数学家笛卡尔卧病在床。尽管病情很重，但他还在反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程是比较抽象的，能不能把几何图形与代数方程结合起来？要想达到此目的，关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组数挂上钩，怎样才能把点和数联系起来呢？突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来，一会儿功夫，蜘蛛又顺着丝爬上去，在上边左右拉丝。蜘蛛的表演使笛卡尔的思路豁然开朗。他想，可以把蜘蛛看做一个点，蜘蛛的位置可以确定，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位置就可以用这三根数轴上找到有顺序的三个数。同样道理，用一组数（x，y）可以表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以用一组有序实数对来表示，这就是坐标系的雏形。

平面直角坐标系的内容：

一、解决了点和坐标之间的一一对应关系：

首先要清楚平面直角坐标系的定义：

平面中相互垂直的两个数轴构成了平面直角坐标系。

一般的我们认为两条数轴的原点是重合的，两条数轴的正方向是向上和向右的，两条数轴的单位长度是相同的。（其实这些都因研究问题的不同而不同）

定义了直角坐标系之后就将平面分成了四个部分，这就是四个象限：第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。（注意：平面直角坐标系将平面分成四个象限，但是四个象限并不能组成一个完整的平面！）

我们需要掌握给定点的位置确定点的坐标；以及给定坐标确定点所在的位置（象限）。

比如：已知平面直角坐标系中，点P（m-2,-m+3）在第二象限，则的取值范围是______．

解答：

由题意可知：∵点P（m-2,-m+3）在第二象限

∴m-2＜0，-m+3＞0

解得：m＜2

二、提供了坐标和线段之间的相互转化关系：

通过对点的位置和点的坐标的学习，我们已经能意识到坐标和线段之间有着千丝万缕的联系，比如横坐标就跟横着的线段有关，纵坐标就跟竖着的线段有关。

下面我们就深入了解一下点的坐标和线段长之间的联系。

（１）由坐标求线段长

①与x轴平行的直线上的点的坐标特点：

与x轴平行的直线上的点纵坐标相同，横坐标不同。

并且CD=较大的横坐标-较小的横坐标

②与y轴平行的直线上的点的坐标特点：

与y轴平行的直线上的点横坐标相同，纵坐标不同。

并且GH=较大的纵坐标-较小的纵坐标

③两点间距离公式：

这个就是高中的两点间距离公式，按照要求初中不需要掌握，所以我建议学生理解根本，其实就是勾股定理。我们做题的时候要给出这个直角三角形勾股定理来求解。

（２）由线段求坐标

上面的三个方面都是建立在已知点的坐标基础上求线段长，直角坐标系的好处是建立线段长和坐标之间的相互转化关系，所以很多时候我们还需要利用线段长来求坐标。

例题一：若直线AB∥x轴，A（2,1）且线段AB=2，则点的坐标是______。

如图所示，利用上述线段长的求法，设点B（x，1），

由题意可知：|x-2|=2

解得：x=4，x=0

点B的坐标为（4，1）或（0，1）。

反思：

做这类题目的时候关键要画图，要通过线段长来体现坐标，更重要的是由线段长求坐标有时需要讨论。线段平行于y轴的例子我就不再举了。特别强调的是：例题一是我们解决这一章所有问题的基础，就是所有的问题都必须转化为横着和竖着的线段来求解。

例题二：

如图，在直角坐标系中，AD=8，OD=OB，平行四边形ABCD的面积为24，求其4个顶点的坐标。

分析：

求点的坐标就是求对应的横、竖线段的长，然后考虑象限确定符号。

反思：

求点C的坐标的时候也可以像下图这样作辅助线，利用△ABO≌△DCH来求解。

例题三：

在直角坐标系中有点A（3，2）、B（4，0），试在坐标系中找一个点C，使得以点O、A、B、C为顶点的四边形为平行四边形。

分析：

利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形我们可以画出符合条件的点有三个。

反思：

前面两个点虽说有同学可以直接看出，但是我们要清楚解决的方法其实就是例题一的做法。第三个点我们也可以通过证明△AON≌△BCM来求解。

例题四：

在直角坐标系中有点A（3，2）、B（1，-2）、C（-1，1），试在坐标系中找一个点D，使得以点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形。

分析：

利用刚才的分析方式可以迅速的画出三个点，不过这三个点的坐标都不是那么容易求出，我们需要仅仅抓住解题的基础：使用横着和竖着的线段来解决问题。我们以D1为例来说明如何求解。点D1靠近C点，所以我们要构造以CD1为一边的直角三角形来求解。如下图所示：

反思：

点D1也靠近A点，我们以可以利用A点构造含有线段AD的三角形与含有BC的三角形全等来解决。其他两种情况我们也可以利用相同的方式来解决。

（３）线段中点坐标

例题五：

如图，直角坐标系中的线段AB，点P是AB的中点，试用点A、B的坐标表示点P的坐标。

分析：

通过之前几何中对于中点的处理方式，我们可以利用中点构造全等来处理，如下图所示，我们可以构造△APM≌△BPN就可以解决。

反思：

了解了中点坐标的公式，其实我们也可以通过中点公式来求解平行四边形的第四个点坐标，有兴趣的同学可以试一下。

未完待续

扫描关注，中考有助