知识解读 三角形的中位线定理,反映了三角形的中位线与第三边的双重关系: (1)位置关系,三角形的中位线平行于第三边; (2)数量关系,三角形的中位线等于第三边长的一半。 位置关系可证明两直线平行;数量关系可证明线段的倍分关系。 典例示范 一、中位线反映了线段间的平行和数量关系 1.如图4-15-1,△ABC中,D、E分别是BC、AC的中点,BF平分∠ABC,交DE于点F,若BC=6,则DF的长是________ 【提示】由于D,E分别是BC,AC的中点,所以DE是△ABC的中位线,根据中位线定6理可知DE∥AB,所以∠BFD=∠ABF;又由于BF平分∠ABC,所以∠ABF=∠CBF,就可证得△BDF为等腰三角形,要求DF的长,只需求BD的长即可. 【技巧点评】 当题中有中点时,特别是一个三角形中出现两边中点时,我们常常考虑运用三角形的中位线来解决问题.本题是采用中位线来证明两直线平行. 2.如图4-15-3,已知E为平行四边形ABCD中DC边的延长线的一点,且CE=DC,连接AE,分别交BC、BD于点F、G,连接AC交BD于O,连接OF.求证:AB=2OF. 【提示】点O是平行四边形两条对角线的交点,所以点O是线段AC的中点,要证明AB=2OF,我们只需证明点F是BC的中点,即证明OF是△ABC的中位线,证明F是BC的中点有两种方法,方法一是证明四边形ABEC是平行四边形,利用平行四边形的对角线互相平分来证明;方法二是证明△ABFQ△ECF,利用全等三角形对应边相等来证明. 【解答】 【技巧点评】 由于中位线等于三角形第三边长的一半,因此当需要证明某一线段是另一线段的一半或两倍,且题中出现中点的时候,常常考虑使用中位线定理. |
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