中考必考题型：用截长补短法证明三角形全等 丢分简直太可惜了！

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在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用。而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗。

截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。通常来证明几条线段的数量关系。 截长补短法有多种方法。

截长法：

（1）过某一点作长边的垂线

（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。

补短法：

（1）延长短边。

（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。

先来一题：

已知，如图1-1，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.求证：∠BAD+∠BCD=180°

因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现。

补短

补短就是将一个已知的较短线段， 延长至与另一个已知的较短线段的长度相等， 然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系。对于具体问题， 有时通过截长补短法， 可构成某种特定的三角形来求解。

已知，如下图，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，AB+BC=2BD.

求证：∠BAP+∠BCP=180°.

与上题相类似，证两个角的和是180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明∠BCP=∠EAP，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造。

1.中线倍长， 构造全等三角形

中线倍长就是把三角形的中线延长， 使延长的线段等于原中线的长， 想法构造全等三角形， 使原来不在一个三角形的线段集中到一个三角形中， 再根据题目已知条件进行解．

在△ABC 中， AB = 12， AC= 8， AD是BC边上的中线， 求AD的取值范围。

例题：

在△ABC 中， AB = 12， AC= 8， AD是BC边上的中线线， 求AD的取值范围。

分析：

欲求 AD 的取值范围， 联想到三角形三边的关系， 必须设法把 AB、 AC、 AD 转移到同一个三角形中， 故可以延长 AD 到 E， 使 DE = AD， 连结BE， 若能证△BDE≌△CDA， 则有BE = AC． 而 AE = 2AD， 在 △ABE 中不难求出AE 的取值范围。

2.利用补短法构造等腰三角形

这是几何证明常用的方法， 它是把较短的线段延长， 再根据角的关系， 找出等腰三角形。 通过腰相等进行转换， 把两条线段转移到

一条线段上来， 最后利用三角形全等， 使问题的结论水落石出。

举例：

学生比较难想到的应该是倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形。

在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法。常见的解题过程为：倍长中线法的过程：延长XX到X点，使线段XX等于XX（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）。

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