【专题说明】 倍长中线是指加倍延长中线,使所延长部分与中线相等,然后往往需要连接相应的顶点,则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系(通常用“SAS”证明)(注:一般都是原题已经有中线时用,不太会有自己画中线的时候)。 【知识总结】 题干中出现三角形一边的中线(与中点有关的线段),或中点,通常考虑倍长中线或类中线,构造全等三角形.把该中线延长一倍,证明三角形全等,从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法. 主要思路:倍长中线(线段)造全等 方法一:在△ABC中 AD是BC边中线,延长AD到E, 使DE=AD,连接BE 请点击输入图片描述 方法二: 作CF⊥AD于F, 作BE⊥AD的延长线于E 连接BE 请点击输入图片描述 方法三:延长MD到N, 使DN=MD,连接CD 1、 如图,已知在△ABC中,D为AC中点,连接BD.若AB=10cm,BC=6cm,求中线BD的取值范围。 解:如图,延长BD至E,使BD=DE,连接CE, ∵D为AC中点 ∴AD=DC, 在△ABD和△CED中, BD=DE, ∠ADB=∠CDE AD=CD ∴△ABD≌△CED(SAS) ∴EC=AB=10 在△BCE中,CE-BC<BE<CE+BC 10-6<BE<10+6 ∴4<2BD<16 ∴2<BD<8 2、如图1,已知△ABC中,AD是BC边上的中线. 3、如图2,在△ABC中,AD是三角形的中线,点F为AD上一点,且BF=AC,连结并延长BF交AC于点E,求证:AE=EF. 【答案】详见解析 【分析】延长AD到M,使DM=AD,连接BM,根据SAS推出△BDM≌△CDA,根据全等三角形的性质得出BM=AC,∠CAD=∠M,根据BF=AC可得BF=BM,推出∠BFM=∠M,求出∠AFE=∠EAF即可. 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质和判定,等腰三角形的性质和判定的应用,主要考查学生的运用性质进行推理的能力,关键是能根据“倍长中线”法作出辅助线来构造全等三角形. 4、如图,AD为△ABC的中线,∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB、AC于点E、F,求证:BE+CF>EF. 5、在Rt△ABC中,∠A=90°,点D为BC的中点,点E,F分别为AB,AC上的点,且ED⊥FD,以线段BE,EF,FC为边能否构成一个三角形?若能,请判断三角形的形状?
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