高中数学《圆锥曲线的最值问题》原来这么简单

圆锥曲线的最值问题是以直线或圆锥曲线作为具体的考察题材内容，同时结合了函数、不等式和导数等数学知识。其解法灵活多样，所含的变量多，具有较强的综合性和灵活性，对能力的要求较高，一直是高中数学的热点问题和难点问题。

圆锥曲线最值问题的求解，往往可以通过建立目标函数或者目标量的不等式来进行分析研究以及解答。此外，还需要注意根据题目的具体情况灵活运用“数形结合”、“几何法”、“方程法”等方法来进行求解圆锥曲线的最值。

下面我们就结合具体的实例来归纳解析几大类问题的解题方法与技巧。

类型一、两动点求线段长的最值问题

【方法与技巧】
此类最值问题动中有定，定中有动。两个动点的问题，可以先令其中一个动点（如本题中的点Q）为定点，结合题目已知条件和图形探求出另外一个动点（如本题中的点P）所处位置的最佳情况，再让定点运动起来从而进行进一步的探讨。

然后根据“两点间的距离公式”或者是“点到直线的距离公式”等构造出函数，再利用函数的性质来求解出最值。

类型二、线段和及线段差的最值问题

【方法与技巧】

当动点在圆锥曲线上运动的时候，求线段和或线段差的最值问题的步骤为：

1、利用圆锥曲线的定义将所求的线段和或线段差问题进行转化。

2、求线段和或者线段差的最值，应该注意动点与定点的相对位置关系。通常情况下，当动点与定点共线的时候，线段和或者线段差可以取得到最值。因为如果动点与定点不共线时，那么线段间就会围成了一个三角形。

根据三角形“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”三边关系的定理可知，此时是无法取到最值的。所以只有在动点与定点共线时，线段和或者线段差才能够取得到最值。

（1）如果求线段和的最值，那么动点一般会在动点与定点所连成的线段上；

（2）如果求线段差的最值，那么动点一般会在动点与定点所连成的线段的延长线上。

3、利用“平面内两点间线段最短”这一公理，或者利用“点到直线的距离为垂线段最短”这一结论来求出最值。

类型三、借助圆锥曲线第一定义解决最值问题

【方法与技巧】
解决本题最值问题的关键在于，将问题中所求的两线段的乘积问题，利用基本不等式进行转化，将“线段积”的形式转化成“线段和”的形式，再借助于椭圆的第一定义来求出最值。

利用均值不等式求解最值问题，有时还要用到“配凑法”，通过“拆项”、“添项”等配凑出符合均值不等式的形式。这种方法在使用时技巧性较强，但是可以起到避繁就简，化难为易的作用。

同时还需要注意，在使用基本不等式的时候，一定要注意“一正，二定，三相等”。

类型四、动点到定直线的最值问题

【方法与技巧】

求圆锥曲线上的动点到定直线的最值问题，可以转化为求圆锥曲线平行于已知直线的切线问题。其中距离已知直线较远的一条切线到这条直线的距离即为所求的最大值。反之，则为最小值。

这类问题的常规解法是根据已知直线设出圆锥曲线的切线，联立切线方程和圆锥曲线方程，消去y（或者是消去x），得到一个关于x（或者关于y）的一元二次方程，然后根据根的判别式Δ=0建立方程来进行求解即可。