阿基米德的球冠面积公式

历史上，古希腊数学家阿基米德最早求出了球的体积及表面积公式。

阿基米德的结果记录在他的两卷著作《论球与圆柱》第一卷中，可以简单地叙述为：

球与其外切圆柱体的体积之比、表面积之比，都等于三分之二。

据说阿基米德希望把这一值得骄傲的发现刻在自己的墓碑上。

本文介绍阿基米德得到球及球冠面积公式的方法，适合中学生阅读。

(一)直圆台的侧面积

初中数学已经学过圆锥的侧面积公式。

利用展开图可知，直圆锥的侧面积等于

其中R是底面圆的半径， L是母线长。

进一步，容易得到直圆台的侧面积公式。

圆台及相关圆锥的轴截面图

命题直圆台的侧面积等于

其中r, R为上下底面圆的半径，d为母线长。

证明：直圆台是从一个大的直圆锥，用平行于底面的平面切除一个小的直圆锥得到的。因此，直圆台的侧面积S等于这两个直圆锥的侧面积之差。

设大小圆锥的底面圆半径分别为R, r母线长分别为L, l 则有L=l+d, 及

由三角形相似，有

因此得到

这就证明了命题。

(二)旋转体的侧面积

如图，圆弧AL围绕直径AA'旋转，得球冠。

我们的目标是求出这个球冠的面积S

为此，先求出特殊的旋转体的侧面积。

任意 n等分圆弧AL, 设分点依次为

则有弦长相等关系式：

对称地，n等分圆弧AL', 设分点依次为

折线ABCD…KL围绕直径AA'旋转一周，所得曲面的面积记为Sn

引理 这个旋转曲面的面积

证明：所求的面积是一些圆台(圆锥、圆柱)的侧面积之和。

连LL', 交AA'与M 由上节的命题，得

由相似三角形序列

得到比例式

由合比定理，得

因此

这就证明了引理。

说法：AL, AM分别称为球冠的斜边与高。

(三)球冠的面积

利用穷竭法(古希腊数学的一种特殊极限理论)，阿基米德严格地证明了：

当n->∞， 面积Sn的极限等于 S

用上一节的记号，当n->∞有B->A

由引理，直接得到

这个结论可以陈述为

定理1 球冠的面积等于球冠的高、直径及圆周率的乘积。

定理2 球冠的面积等于以斜边为半径的圆面积。

同样的讨论，给出球的面积公式。

定理3 球的面积等于球的大圆面积的四倍。

(四)由球的面积得出体积

熟知，由圆的周长公式可以得出圆的面积公式：

圆的面积等于周长与半径乘积的一半，即

完全类似地，由球的面积公式可以得出球的体积公式：

球的体积等于表面积与半径乘积的三分之一，即

利用球的体积公式，也可以得出面积公式。

(五)结束语

阿基米德利用最基本的数学知识和极限思想，奇思妙算，求得球冠面积公式，令人叹为观止。

按球面几何来看，球冠是球面几何的“圆”。

因此，球冠的面积公式可以翻译成球面几何的“圆面积公式”：

半径为 R 的球面上的“半径”为a 的圆的面积为

把正弦改为双曲正弦，就得到双曲几何的圆面积公式。

阿基米德的名字意为“大思想家”，再恰当不过。

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