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用平行于底面的平面切割圆锥时，上部分仍是圆锥，下部分成为圆台。 圆台的上下两个平面是平行的，侧面是圆锥的一部分，它显然是曲面。 切割高度为h的圆锥，做成圆台，将下底面的半径记这r1，上底面的半径记为r2；将高度h分为两个，圆台的高度记为h1，上圆锥部分的高度记为h2。 首先，由于两个相似形的面积比是相应项之比的平方，体积比是相应项之比的立方 另外，由h2∶h＝r2∶r1有r1h2＝r2h， r1h2＝r2(h1+h2)，r1h2－r2h2 ＝r2h1 将②代入①， 由此可知，如果知道上底面、下底面的半径和圆台的高度，即可求出圆台的体积，在此式中也有π。 下面求圆台的表面积(全表面积)。这样的问题用展开图描绘比较容易理解。 因为上底面和下底面都是圆，所以其面积为πr22+πr12＝π(r22+r12)，侧面面积为 (侧面的面积)＝πr1l－πr2l2 ＝π〔r1(l1+l2)－r2l2〕 ＝π〔r1l1+l2(r1－r2)〕 ① 另外，因为r2∶r1＝l2∶l 及r2∶r1＝l2∶(l1+l2) 有r2(l1+l2)＝r1l2 r2l1+r2l2＝r1l2，r2l1＝l2(r1－r2 ) 将②式代入①式，有 ＝π(r1l1+r2l1) ＝πl1(r1+r2) 由此可知，为了求圆台的表面积，可求出上底面和下底面的半径及斜高(不是高度，而是母线的一部分)，即可像下面那样求表面积。 (表面积)＝(上、下两个圆的面积)+(侧面积) ＝π(r22+r12)+πl1(r1+r2) ＝π(r1l1+r22+r12+r2l1) ＝π｛r1(l1+r1)+r2(l1+r2)｝ 在此，π也起着重要作用。 重新整理写出圆台的体积V和表面积S的计算公式： S＝π〔r1(l1+r1)+r2(l1+r2)〕 |
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