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立体几何复习： 1、空间几何体的结构及其三视图和直观图 2、空间几何体的表面积和体积
【知识梳理】 1、构成空间几何体的基本元素 点、线、面是构成几何体的基本元素，线有直线（段）和曲线（段）之分，面有平面（部分）和曲面（部分）之分．在立体几何中，平面是无限延展的．通常画一个平行四边形表示一个平面，用希腊字母 2、棱柱、棱锥、棱台的结构特征 （1）多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体，多边形叫做多面体的面；相邻两面公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．不共面两顶点的连线叫做多面体的对角线； （2）棱柱：两个面（底面）互相平行，其余每两个相邻面（侧面）的交线（侧棱）平行． 分类： （3）棱锥：有一个面（底面）是多边形，其余各面（侧面）都是有一个公共点（顶点）的三角形． 分类：底面多边形：三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 特别地，正棱锥指底面为正多边形，水平放置时，顶点在底面投影为底面多边形的中心； （4）棱台：底面水平放置的棱锥被平行于底面的平面所截，截面（上底面）与圆锥底面（下底面）之间的部分． 正棱台：正棱锥截得的棱台． 3、圆柱、圆锥、圆台、球
球：空间中到一个定点距离等于定长的点的集合． 大圆：球面被经过球心的平面截得的圆． 小圆：球面被不经过球心的平面截得的圆． 球面距离：经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度． 4、平行投影与直观图 平行投影：（如图），图形F，直线L与a相连，过F上任一点M作直线
平行投影性质：（1）直线或线段的平行投影仍是直线或线段； （2）平行直线的平行投影是平行或重合的直线； （3）平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长； （4）平行于投射面的平面图形，它的投影与这个图形全等； （5）在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比． 直观图：用来表示空间图形的平面图形（斜二测画法）． 5、三视图 （1）正投影：平行投影中，投射线与投射面垂直． 性质：①垂直于投射面的直线或线段的正投影是点． ②垂直于投射面的平面图形的正投影是直线或直线的一部分． （2）三视图
7、圆柱、圆锥、圆台的表面积公式 见下表，其中S表示面积，
8、棱柱或棱台的表面积等于侧面积与两个底面积的和，棱锥的表面积是侧面积与一个底面积的面积的和． 棱柱、棱锥和棱台的面积公式： 见下表，其中S表示面积，c’、c分别表示上、下底面周长，h表示高度，h’表示斜高，l表示侧棱长。
9、棱柱、棱锥、棱台的体积公式
其中， 10、圆柱、圆锥、圆台的体积公式
其中， 熟练掌握柱、锥、台体积公式及其内在联系是达到准确计算的关键。 半径为R的球的表面积
【典型例题】 例1. 下面是关于四棱柱的四个命题： ①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ②若过两个相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱； ④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱。 其中，真命题的编号是___________。（写出所有真命题的编号） 点拨：根据学过的几何体结构特征，亦可用反例法否定命题。
解析：对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且相互平行，故①假；对于②，两截面的交线平行于侧棱，且垂直于底面，故②真；对于③，作正四棱柱的两个平行菱形截面，可得满足条件的斜四棱柱（如图），故③假；对于④，四棱柱一个对角面的两条对角线，恰为四棱柱的对角线，故对角面为矩形，于是侧棱垂直于底面的一对角线，同样侧棱也垂直于底面的另一对角线，故侧棱垂直于底面，故④真。（如图） 答案：②④
例2. 如图，正四棱台的高是17cm，两底面边长分别为4cm和16cm，求棱台的侧棱长和斜高。
点拨：找到已知条件和正棱台的特征——直角梯形，转化为平面几何知识求解。 解析：设棱台两底面的中心分别为O’和O，B’C’，BC的中点分别为E’，E，连结 则 在正方形ABCD中， 在正方形 则 在直角梯形
在直角梯形
点评：正棱台两底面中心连线，相应的边心距和斜高组成一个直角梯形，两底面中心边线，侧棱与两底面相应半径组成一个直角梯形，对于棱柱相应为矩形，棱锥相应直角三角形．圆台两底面中心连线，相应底面半径、母线组成直角梯形，圆柱相应为矩形，圆锥相应为直角三角形，这些特征图形在解题中经常用到，要能够迅速、准确地画出．
例3. 设地球半径为R，在北纬45°圈上有两点A、B，点A在西经40°，点B在东经50°，求A、B两点间纬线圈的长度及A、B两点的球面距离。 点拨：涉及到球的问题，多数为求解球面距离，解此题须画出准确的图示，找到几何要素间的关系。 解析：如图，设45°纬线圈中心为
又
在
A，B两点球面距离为
例4. 画出几何体的三视图
点拨：按照三视图画法要求，按顺序画即可。 解析：
例5. 已知一个正三棱台的两底面边长分别为30cm和20cm，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高。 点拨：求棱台的侧面积要注意利用公式及正棱台中的特征——直角梯形，转化为平面问题来求解所需几何元素。 解析：如图所示，正三棱台
设
由
例6. 在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为 点拨：要求出球的表面积，求出半径即可，利用题中所给截面，结合图形和直角三角形中相关关系求出即可。 解析：如图，作出球的轴截面，由截面性质知
在
在
联立①②可得
故球的表面积为
例7. 已知六棱锥
点拨：由已知条件可以判断六棱锥为正六棱锥，要求其体积，求出高即可。 解析：如图，O为正六边形中心，则PO为六棱锥的高，G为CD中点，则PG为六棱锥的斜高，由已知得：
即六棱锥
例8. 一种空心钢球的质量为142g，外径5.0cm，求它的内径。（钢的密度为 点拨：空心钢球的质量可看作一大一小两球的质量之差，进而转化为它们的体积之差，再作求解。 解析：设空心钢球内径为2x cm，那么钢球的质量为
【模拟试题】 1. A、B为球面上相异的两点，通过A、B两点可作的大圆个数为（ ） A. 只能作一个 B. 可以作无数个 C. 一个没有 D. 一个或无数个 2. 两条不相交直线在一平面内的平行投影为（ ） A. 两条相交直线 B. 两条平行直线 C. 一直线和一点 D. 以上都有可能 3. 边长为12的正三角形的直观图的面积为（ ） A. 4. 侧棱长为1的正四棱锥，若底面周长为4，则这个棱锥的侧面积为（ ） A. 5 B. 5. 轴截面为正方形的圆柱侧面积为S，那么圆柱的体积为（ ） A. 6. 体积为 A. 7. 若一个球的大圆面积扩大为原来的2倍，则它的体积扩大为原来的（ ） A. 8倍 B. 4倍 C. 8. 用小正方体搭成一个几何体，下图为它的主视图和左视图，搭成这个几何体的小正方体的个数最多为_________个。
9. 用一个平面去截球面，截得小圆面积是其大圆面积的 10. 已知正四棱锥底面正方形的边长为4cm，高与斜高的夹角为30°，则斜高为________，侧面积________，全面积________。 11. 一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成角为________。 12. 图中是截去一角的长方体，画出它的三视图。
13. 用两平行平面去截半径为R的球面，两个截面半径 14. 顶点为P的圆锥容器倒立，它的轴截面为正三角形，在这个容器中注入水，并且放入一个半径为r的球，这时水面恰与球面相切，问将球从水中取出后，圆锥内水平面多高？
【试题答案】 1、D 2、D 3、A 4、B 5、A 6、A 7、C 8、7 9、 12、
13、解析：当两截面位于球心同侧时，球的轴截面如图，
则 由已知可得：
在 在 由①②可得 故两截面应位于球心两侧 此时再作截面如图示，
则
设 在 在 由③④得， 14、
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