【思想方法】构造旋转全等三角形求线段的最值

构造旋转全等三角形求线段的最值

【题目】

如图，在△ABC中，AB = 6 ,BC = 8 ，∠ACD = 60°，AC = CD ，则 BD 的最大值为多少？

【考点】

等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，线段的和差。

【解析】

因为∠ACD = 60°，AC = CD ，连接AD，得到等边三角形ACD，见等边三角形ACD构等边三角形ABE，得到△EAC ≌ △BAD，从而得到等线段BD = CE，将求BD的最大值转化为求EC的最大值，EC与两条已知线段BE和BC构成三角形，根据线段的和差即可求出EC的最大值或最小值。

【解答】

连接AD，以AB为边向外作等边三角形△ABE ，连接CE 。

∵ ∠ACD = 60°，AC = CD ，

∴ △ACD是等边三角形，

∴ AD = AC = CD ,∠CAD = 60°；

∵ △ABE是等边三角形，

∴ AE = AB = BE = 6 ，∠EAB = 60°；

∴ ∠EAB = ∠CAD = 60°，

∴ ∠EAB + ∠BAC = ∠CAD + ∠BAC ，

∴ ∠EAC = ∠BAD ；

在△EAC 和 △BAD 中，

AE = AB ，∠EAC = ∠BAD，AC = AD ，

∴ △EAC ≌ △BAD（SAS）

∴ CE = BD；

当点E在射线CB上（∠ABC= 120°）时，EC有最大值，

∵ BE = 6 ，BC = 8 ，

∴ EC的最大值为 BE + BC = 6 + 8 = 14 。

∴ BD的最大值为14 。

【方法技巧归纳】

利用共顶点的线段构造旋转全等，可将分散的条件集中到一个三角形中去。常常见90°构90°，见60°构60°，见120°构120°，见中点构180°（倍长中线法）。

【思考题】

在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，AC＝10，动点D、E分别在AB、AC边上，且AD＝CE，则CD+BE的最小值为______　。

【提示】过点C作CF∥AB，使CF = CA，连接EF、BF，过点 B 作BG⊥CF于点G。

☆ END ☆

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