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(金山23一模21) 若函数是其定义域内的区间上的严格增函数,而是上的严格减函数,则称是上的“弱增函数”.若数列是严格增数列,而是严格减数列,则是“弱增数列”. (1)判断函数是否为上的“弱增函数”,并说明理由. (2)已知函数与函数 的图像关于坐标原点对称,若是上的“弱增函数”,求的最大值.(3)已知等差数列是首项为的“弱增数列”,且公差是偶数.记的前项和为,设(是正整数,常数),若存在正整数和,使得且,求所有可能的值. 解 (1)记,有,当时,有,此时严格单调递减,而是上的严格增函数,故是上的“弱增函数”. (2)将代入得到,其严格单调递增区间为.而 的严格单调递减区间为和.故在上为“弱增函数”,此时取到最大值为.(3)注意到,则且,解得,又是整数,则.于是 下面来分析的单调性,有其中,注意到为单调递减数列,且当时,有,即这时候不存在和,使得.于是.若,则此时符合题意.若,则此时符合题意.若,则此时不符题意.且当时,都有故所有可能的值为或.(金山23一模19) 在中,设角所对的边分别为,且 (1)求. (2)若,求的最大值.} 解 (1)由正弦定理可知,于是 即.(2)注意到,由余弦定理可知 即,又即,联立得到得到,此处由均值不等式可知即,得到,当且仅当取到最大值. |
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