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话题10：用符号表示分类 在这个话题，尝试用符号来表示分类。我们将会看到，用符号表示分类，不仅能够更加清晰的表达分类，而且能够更加深刻的理解分类的标准，进而能够更加深刻的理解所要研究问题的性质。在问题4中曾经谈到。凡是不能用于构建分类标准的性质都是不重要的，或者说，凡是重要的性质必须是那些能够成为构建分类标准的性质。我们来分析这个问题。 用X表示所要研究的东西，称为元素，用Ω表示所有元素构成的集合。这样集合X∈Ω，就表示X是一个属于集合Ω的元素。例如，要研究非0的自然数（除去0以外的自然数），那么X就表示任意一个非0的自然数，Ω就表示所有非0自然数构成的集合. 令P表示一个与元素X有关的命题，为了讨论问题的方便，有时也用P表示性质或者标准；用A和B表示基于标准得到的两个集合，其中A表示满足标准P的那些元素构成的集合，B表示不满足标准P的那些元素构成的集合。例如，要进一步讨论所有非0自然数的问题（集合Ω），如果用P表示命题：能被2整除，那么集合。集合A就包含所有能被2整除的非0自然数集合，B就包含所有不能被2整除的非0自然数。上面的例子为直观背景，我们可以给出“分类标准”的定义：性质P是分类标准的充分必要条件是，集合A和B满足下面两个条件： A∪B=Ω和A∩B=∅， 其中∅表示空的集合，即不存在的元素。在这个表达中，符号“∪”称为“并”，表示“或者”的意思，因此第一个等式表示：如果元素X∈A或者X∈B，则X∈Ω；反之，如果X∈Ω，则X∈A或者X∈B。符号“∩”称为“交”，表示“同时”的意思，∅表示空集合。因此，第二个等式表示：“属于集合A同时属于集合B”的元素不存在。 可以看到，前面例子中的集合A和B满足上面的式子，因为：一个非0自然数能被2整除或者不能被2整除，二者必居其一，这是第一个等式；一个非0自然数不可能同时被2整除，又不被2整除，这是第二个等式。因此对于集合Ω，命题“能被2整除”，可以作为分类的标准。因此，对于非0自然数而言，这个命题是一个非常重要性质。几乎所有的古代文明，人们都重视对自然数的分类，并且利用这个性质定义了奇数和偶数，古代中国称之为单数和双数。 有兴趣的读者可以尝试一下，小学数语教育中常见的性质，都能按照这个方法进行分类。 |
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