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(静安23一模21) 已知函数 其中.(1)若是函数的驻点,求实数的值. (2)当时,求函数的单调区间. (3)若存在,使得不等式成立,求实数的取值范围. 解 (1)由题意可知 解得. (2)计算可知 当时,令可知零点为或.Case1 当,即时,注意到此时对任意的,都有,故此时的单调递增区间为. Case2 当,即时,注意到当或时,有.当时,有.故此时的单调递增区间为和,单调递减区间为. Case3 当时,即时,重复Case2的讨论过程可知的单调递增区间为和,单调递减区间为. (3)注意到等价于在上解集非空,即 记,则,此时注意到在上有,此时严格单调递增 ;在上有,此时严格单调递减,比较可知于是.(浦东23一模21) 已知定义域为的函数.当时,若 是严格增函数,则称是一个“函数”.(1)分别判断, 是否为函数. (2)是否存在实数,使得函数 是函数?若存在,求实数的取值范围;否则,证明你的结论. (3)已知,其中.证明:若是上的严格增函数,则对任意, 都是函数. 解 (1)注意到 故是函数, 不是函数.(2)记 当时,有,计算可知 而严格单调递增,故,此时,有严格单调递增.当时,有 此时严格单调递增意味着,即.结合时,有 这是因为故综上所述,有.(3)计算可知 而意味着或即时,有严格单调递增.当时,注意到当且仅当,即在和上分别严格单调递增,即也是上的严格增函数.设,对任意的,有 记,此时此时由之前的讨论可知等号成立当且仅当.故当时,有为上的严格单调递增函数,此时恒成立,即此时故对任意, 都是函数. |
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