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数学的抽象性主要包括两方面的内容:数量与数量关系，图形与图形关系。数量与数量关系的抽象。人们把现实生活中的数量抽象为数，形成自然数，并且用十个符号和数位进行表示，得到了自然数集。在现实生活中，数量关系的核心是多与少，人们又把这种关系抽象到数学内部，这就是数的大与小。后来，人们又把大小关系推演为更一般的序关系。由大小关系的度量产生了自然数的加法，由加法的逆运算产生了减法，由加法的简便运算产生了乘法，由乘法的逆运算产生了除法。因此，数的运算本质是四则运算，这些运算都是基于加法的。通过运算的实践以及对运算性质的研究，抽象出运算法则。为了保证运算结果的封闭性，就实现了数集的扩张。在本质上，数集的扩张是因为逆运算:为了减法运算的封闭，自然数集扩张为整数集;为了除法运算的封闭，整数集扩张为有理数集。  图形与图形关系的抽象。图形与图形关系的抽象也经历了类似的过程。现实世界中的图形都是三维的，几何学研究的对象，如点、线、面等都是抽象的产物，这些研究对象集中地表述在欧几里得《原本》这本书中。欧几里得用揭示内涵的方法给出点、线、面的定义，比如，点是没有部分的那种东西。但是，凡是具体的陈述就必然会出现悖论:按照这样的定义，应当如何解释两条直线相交必然交于一点呢?两条直线怎么能交到没有部分的那种东西上呢?意味着数学的抽象不仅仅要抽象出数学所要研究的对象，还要抽象出这些研究对象之间的关系。与研究对象的存在性相比，研究对象之间的关系更为本质。  对于数学而言，如果说演绎推理是为了证明的推理，那么归纳推理就是为了推断的推理，把这两种推理模式结合起来，就得到了数学的推理的全部过程;从条件出发，借助归纳推理“推断”数学结果的可能性，借助演绎推理“验证”数学结果的必然性;或者进行一个相反的推理过程:从结果出发，借助归纳推理“推断”数学条件的可能性，借助演绎推理“验证”数学条件的必要性。  为了更加清晰地把握推理的精髓，我们把两种不同推理的过程简单描述如下:推理的主线是命题之间具有传递性，在这个主线的基础上,演绎推理是命题所涉及的范围由大到小的推理，归纳推理是命题所涉及的范围由小到大的推理。所谓命题范围由大到小或者由小到大，是推理模式从一般到特殊或者从特殊到一般的具体描述，我们可以从演绎推理的经典句式和归纳推理的经典句式中理解这种表述。从逻辑层面考虑，正因为演绎推理是命题范围由大到小的推理，因此通过演绎推理得到的结论是必然的，演绎推理的逻辑性集中表现在命题之间的传递性，但不能用于发现新的知识;与此相反，正因为归纳推理是命题范围由小到大的推理，因此通过归纳推理得到的结论是或然的，但能够用于发现新的知识。  抽象和推理都是数学的显著特征，人们一谈起数学首先想到的就是这两个特征。与这两个特征关联的思想也就成为了数学的基本思想。人们通过抽象，从日常生活和生产实践中得到数学所要研究的基本概念和法则;人们通过推理，在基本概念和法则的基础上得到数学的公式和命题。即人们通过“抽象”把外部世界引入数学，通过“推理”促进了数学本身的发展。当然，这两个功能是不可能截然分开的，因为抽象必然要借助推理的方法，而推理又必然要借助抽象的思维。 |
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