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【知识解读】 1.直线和圆的位置关系： 设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d. （1）直线与圆相交 ←→ 0≤d<r； （2）直线与圆相切 ←→ d=r； （3）直线与圆相离 ←→ d>r. 2.圆的切线： （1）一个定义：与圆只有一个公共点的直线叫做圆的切线；这个公共点叫做切点； （2）两种判定：①若圆心到直线的距离等于半径，则该直线是圆的切线；②经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； （3）判定直线和圆的位置，一般考虑如下“三步曲”： 一“看”：看看题目中有没有告诉我们直线和圆有几个公共点； 二“算”：算算圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的大小关系，然后根据上述关系作出判断； 三“证明”：证明直线是否经过半径的外端，并且与该半径的位置关系是否垂直。 切线的判定，添加辅助线是难点，通常从以下两个角度考虑： ①若所要证明的切线与圆有公共点，这时连接圆心，证明与半径垂直； ②若题干中没有交代所要证明的切线与圆有公共点，这时过圆心向该直线作垂线，证明垂线段的长度等于圆的半径.简单地记为“有点连半径，证垂直；无点作垂直，证半径”。 （4）四条性质： ①圆心到切线的距离等于圆的半径 ②圆的切线垂直于过切点的半径； ③经过圆心，与切线垂直的直线必经过切点； ④经过切点，与切线垂直的直线必经过圆心. 应用切线的性质解题，经常需要“连接圆心和切点”，把相切转化为垂直，再把垂直转化为直角来解决问题. 【典型示范】 例1如图1-5-1，如图，已知⊙O的半径为6cm，射线PM经过点O，OP＝10cm，射线PN与⊙O相切于点Q．A，B两点同时从点P出发，点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动．设运动时间为ts． （1）求PQ的长； （2）当t为何值时，直线AB与⊙O相切？
【提示】（1）连接OQ； （2）先罗列两要素：半径R，圆心到直线的距离d；再分类列方程；最后解方程、检验.一般情况下，这个类型题无法先画出比较准确的示意图. 拓展训练 如图1-5-2，已知射线DE与x轴和y轴分别交于点D（3，0）和点E（0，4）．动点C从点M（5，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向左作匀速运动，与此同时，动点P从点D出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动．设运动时间为t秒．以点C为圆心、½t个单位长度为半径的⊙C与x轴交于B两点（点A在点B的左侧），连接PA、PB．当⊙C与射线DE有公共点时，求t的取值范围．
【提示】读懂题意，抽丝剥茧，读者可思考三个问题： ①OC的半径怎样变”个化？ ②OC在运动的过程中，什么时间开始与射线DE有公共点？什么时间结束与射线DE有公共点？ ③研究OC与射线DE的公共点，与点P有关系吗？ 显然，当A，D重合时，OC与射线DE开始有公共点；当OC与射线DE相切之后，就结束与射线DE有公共点.OC与射线DE相切的图形你会画吗？怎样求OC与射线DE相切时对应的t的值呢？ |
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