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2023 年null 1 月初 三 数 学测试
1．如图，一次函数 y x+1 的图象与反比例函数 y （ x＞ 0）的图象交于点 A（ a， 3），
与 y 轴交于点 B，与 x 轴交于点 E．
（ 1）求 a， k 的值；
（ 2）直线 CD 过点 A，与反比例函数图象交于点 C（ 2， b），与 x轴交于点 D．求△ ADE
的面积．
2．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y＝﹣ x+b的图象与反比例函数 y （ x＜ 0）
的图象相交于点 A（﹣ 1， 6），并与 x轴交于点 C．点 D 是线段 AC上一点，△ ODC 与△
OAC的面积比为 2： 3．
（ 1） k＝ ， b＝ ； D的坐标 ；
（ 2）点 P为直线 AC在第一象限部分上一点，连结 OP，将 OP绕点 O逆时针旋转 90°，
得到 OP''，若点 P''在反比例函数上，求出点 P 坐标；
（ 3）点 Q 为 y 轴上一点，若 S△ ODA＝ S△ ODQ，求出点 Q 的坐标．
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3．已知关于 x的一元二次方程 x2﹣（ k+4） x+3+k＝ 0．
（ 1）求证：此方程总有两个实数根；
（ 2）若此方程恰有一个根小于 0，求 k 的取值范围．
4．某工程队采用 A、 B 两种设备同时对长度为 4800 米的公路进行施工改造．原计划 A型设
备每小时铺设路面比 B型设备的 2 倍多 30 米，则 32 小时恰好完成改造任务．
（ 1）求 A 型设备每小时铺设的路面长度；
（ 2）通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的 4800 米多了 1000 米．在实际施工中，
B 型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了（ m+25）小时，同时， A 型设
备的铺路速度比原计划每小时下降了 3m 米，而使用时间增加了 m小时，求 m 的值．
5．东北的冬天比较冷，某店销售的充电暖宝热销，当每个暖宝售价定为 80 元时，每星期可
卖出 300 个，为了促销，该店决定降价销售．经市场调查发现，每降价 1 元，每星期可
多卖 30 个．已知该款暖宝每个成本为 60 元，在顾客得到实惠的前提下，该店还想获得
6480 元的利润，那么这款暖宝的售价应定为多少元？
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6．如图， E 是矩形 ABCD 边 AB 的中点， F 是 BC 边上一点，线段 DE 和 AF 相交于点 P，
连接 PC，过点 A 作 AQ∥ PC交 PD 于点 Q．
（ 1）求证： PC＝ 2AQ；
（ 2）已知 AD2＝ PD?DE， AB＝ 10， AD＝ 12，求 BF的长．
7．如图，连接矩形 ABCD的对角线 AC，过点 D作 DH⊥ AC 于点 H， AH＝ 5cm， DH＝ 25cm，
动点 P 以每秒 5cm 的速度从点 C 向点 A 运动（点 P 不与点 A、 C 重合），过点 P 作 PQ
⊥ AC交射线 CB于点 Q，设点 P 的运动时间为 t（ s），△ ABC与△ PCQ 重叠部分的面积
为 S（ cm2）．
（ 1）求 AD、 AC 的长；
（ 2）求 S与 t的函数关系式，并直接写出自变量 t的取值范围．
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8．如图是某种云梯车的示意图，云梯 OD 升起时， OD 与底盘 OC夹角为 α，液压杆 AB与
底盘 OC 夹角为 β；已知：液压杆 AB＝ 3m，当 α＝ 37°， β＝ 53°时，
（ 1）求液压杆顶端 B 到底盘 OC的距离 BE 的长；
（ 2）求 AO 的长．
（参考数据： sin37° ， tan37° ， sin53° ， tan53° ）
9．如图，一艘渔船位于小岛 B 的北偏东 30°方向的点 A 处，它沿着点 A 的南偏东 15°的
方向航行 10 千米到达点 C处，此时点 C位于点 B 的北偏东 60°．
（ 1）求此时渔船距离直线 AB 的距离（结果保留根号）．
（ 2）渔船到达点 C 后，按原航向继续航行一段时间后，到达点 D 等待补给，此时渔船
在点 B 的南偏东 75°的方向．在渔船到达点 D 的同时，一艘补给船从点 B出发，以每小
时 20 千米的速度前往 D处，请问补给船能在 80 分钟内到达点 D 吗？
（参考数据： 1.73）
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10．线上教学期间，很多同学采用笔记本电脑学习，九年级一班同学为保护眼睛，开展实践
探究活动．如图，当张角∠ AOB＝ 150°时，顶部边缘 A处离桌面的高度 AC 的长为 11cm，
此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识发现
当张角∠ A''OB＝ 108°时（点 A''是 A 的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘
A''处离桌面的高度 A''D 的长．（结果精确到 1cm；参考数据： sin18°≈ 0.31， cos18°≈ 0.95，
tan18°≈ 0.32）
11．市政公司为绿化一段沿江风光带，计划购买甲、乙两种树苗共 500 棵，甲种树苗每株
50 元，乙种树苗每株 80 元．有关统计表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为 90%和 95%．
（ 1）若购买树苗的钱不超过 34000 元，应如何选购树苗？
（ 2）若希望这批树苗的成活率不低于 93%，又应如何选购树苗？
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12．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝ ax2+bx（ a≠ 0），设抛物线的对称轴为 x＝ t．
（ 1）当抛物线过点（﹣ 2， 0）时，求 t的值；
（ 2）若点（﹣ 2， m）和（ 1， n）在抛物线上，若 m＞ n，且 amn＞ 0，求 t 的取值范围．
13． 2022 年冬季奥运会和冬季残奥会两件赛事在我国首都北京和河北省石家庄市举行，某
商家购进了冬季残奥会吉祥物“雪容融”纪念品，每个纪念品的进价是 30 元．为了增大
“雪容融”类纪念品的销售量，商家决定对“雪容融”类纪念品进行降价销售，当销售
价为每个 44 元时，每天可以售出 20 个，每降价 1 元，每天将多售出 5 个．请问：商家
将该纪念品每个降价多少元时，能使每天获利最大，最大利润是多少？
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14．如图，在平面直角坐标系 xOy中，二次函数 y＝ x2+bx+c 的部分图象与 x轴， y轴的交点
分别为（ 1， 0）和（ 0，﹣ 3）．
（ 1）求此二次函数的表达式；
（ 2）结合函数图象，当﹣ 2＜ x＜ 1 时，直接写出 y的取值范围．
15．在平面直角坐标系 xOy 中，点 M（ x1， y1）， N（ x2， y2）在抛物线 y＝ ax2+bx+1（ a＜ 0）
上，其中 x1＜ x2，设抛物线的对称轴为 x＝ t．
（ 1）当 t＝ 1 时，如果 y1＝ y2＝ 1，直接写出 x1， x2 的值；
（ 2）当 x1＝﹣ 1， x2＝ 3 时，总有 y2＜ y1＜ 1，求 t的取值范围．
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