【原】2023深圳实验九年级期末数学压轴题解析，文末可免费领取试卷

10. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算术《周骨质算经》中早有记载.如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出(   )

A. 直角三角形的面积

B. 最大正方形的面积

C. 较小两个正方形重叠部分的面积

D. 最大正方形与直角三角形的面积和

解：设直角三角形的三边长分别为a、b、c,由勾股定理得a²+b²=c²，，此表达式为两正方形重叠问题矩形的面积.故选C.

点评：此题难度并非想象中的大，关键在于设线段长进行简单推导，即可得到答案.

15.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，BC=2，点M是线段BC上的动点，在线段CA上截取CN=BM，连接AM和BM，当点在运动的过程中，AM+BN的最小值为________

分析：题目的难点在于M、N皆为动点，AM、BN何时取最小值不能直接看出来；需要合理的转化，如何转化对同学们而言有难度.

联想：题目中BM=CN，若在等边三角形中，则需要想到全等三角形；如下图，正三角形ABC中，AD=CE，则易知两着色三角形全等.全等可直接转化线段,而此题亦是如此.

取AC的中点，则BCD为等边三角形，连接DM，则可得全等,即△CBN≌△BDM，得BN=DM，故AM+BN=AM+DM，非常明显，A、D为定点，M在BC上运动，将军饮马问题；取A关于BC的对称点A'，当A'、M、D三点共线时，可取最小值.

当A’、M、D共线时，作DH垂直于AB于点H，最小值为

2√7

21. 已知，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,

(1) 【模型设别】如图1，已知点D在BC边上，∠DAE=90°，AD=AE，连接CE，求证：BD=CE;

(2) 【类比迁移】如图2，已知点D在BC下方，∠DAE=90°，AD=AE，连接CE，若BD⟂AD，AB=2，CE=2，AD交BC于点F，求AF的长.

(3) 【方法应用】如图3，已知点D在AC上方，连接DB和CD，BD与AC相交于点F，若∠BDC=90°，BF=2CD，AB=6，求△BFC的面积.

解：(1)手拉手模型证明：

∵∠BAC=∠DAE=90°

∴∠BAD=∠CAE

又∵AB=AC，AD=AE

∴△BAD≌△CAE

∴BE=CE

(2) 法一：相似+方程

作AG⟂BC于点G，易得△BDF~△AGF，相似比AG：BD=：1，设AF=x，则BF=x，GF=2-x

在△AFG中，由勾股定理得得x=,故AF=5

法二：12345原理延长AG、BD交于点H(方便同学们理解)，易知BD=2，AD=6，tan∠BAD=,而∠BAD+∠DAH=45°，故得DH=3，而△BGH≌△AGF，故AF=BH=5

另：亦可不延长AG、BD，直接利用原理求FG=，从而求得AF=5；

(3) 延长CD、BA交于点G，易知△BAF≌△CAG，BF=CG=CD+DG,而BF=2CD，得DG=CD，而BD⟂CG，故△BCG为等腰三角形，BG=BC=,AF=CG=-6,故CF=12-，故

21. 如图，已知抛物线：交x轴于点A和点B，交y轴于点C，且A(-1，0)，C(0，3)

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1，点P是抛物线上第二象限的动点，过点P作BC的平行线交x轴于点D，连接PD和CD，连接AP和PC，若四边形APCD的面积为4，求此时点P的坐标.

(3)如图2，已知直线EF：交x轴于点F，交y轴于点E，M是抛物线对称轴上的一个动点，连接MF，∠EAF=α，把线段FM沿着点F逆时针旋转α，M的对应点M′，恰好落在抛物线上，直接写出点M′的坐标.

解：(1)

(2)连接PB，由PD||BC得故，所以,代入抛物线解析式得得，

 

(2) ①②将△PMH绕点F逆时针旋转α，得△FMJ交x轴于点I，FJ=FH=，tanα=得FI=，而F(,0)故点I与原点重合，此时IJ的解析式为，与抛物线联立得