《亚里士多德的三段论》我们的公理和规则不充分

用我们的公理和断定规则来证明亚里士多德逻辑的所有已知断定命题，以及用我们的公理和排斥规则来反驳所有不正确的三段论形式，虽然都是可能的，结果仍然远远不能令人满意。理由在于：在亚里士多德逻辑中，除了三段论的形式外，还有其它许多有意义的表达式。实际上它们是无穷的，以至于我们不能确信这个三段论系统的所有真表达式是否都能从我们的公理和规则的系统中推导出来，而所有的假表达式是否都能被排斥。事实上，要找出一个用我们的公理和排斥规则不能排斥的假表达式，是容易的。例如，那样的表达式有：

（F₁） CIabCNAabAba

它的意思是：“如果有些a是b，那么如果并非所有a是b，则所有b是a。”这个表达式在亚里士多德逻辑中不是真的，而且不能用断定的公理来证明，但它与这些公理是不矛盾的，把它加在公理之中，并不推出任何不正确的三段论形式。我们来考虑一下如此扩展的这个三段论的系统是值得的。

从亚里士多德的逻辑定律：

8. CAabIab与

50. CAbaIab

以及演绎理论定律：

（m） CCprCCqrCCNpqr

我们能够得出下面的新断定命题78：

（m）p/Aab q/Aba，r/Iab×C8—C50—78

78. CCNAabAbaIab.

这个断定命题是（F₁）的换位蕴涵式，它与（F₁）一起给出一个等值式。在这个等值式的基础上，我们可以用函子A定义函子I：

（F₂）Iab＝CNAabAba.

这个定义读作：“'有些a是b’的意思同于'如果并非所有a是b，则所有b是a。’”因为表达式“如果非p，则q”与另一表达式“或者p或者q”是等值的，我们也能够说：“'有些a是b’的意思同于'或者所有a是b或者所有b是a。’”现在，容易在所谓“欧拉圈”（Eulerian Circles）中找到这个扩展系统的一个解释。如同在通常解释中一样，用圆圈代表词项a、b、c，但是在任何两个圆圈都不会彼此相交的条件下，公理1—4得到确证，而形式*59CKAcbAabIac与*59^aCKEcbEabIac遭到排斥，因为可能划出两个圆圈彼此位于对方之外而又都包含于第三个圆圈之中，这就驳倒了形式CKAcbAabIac，并且又可能划出三个圆圈，它们每一个都独立于其它两个圆圈，这就驳倒了形式CKEcbEabIac。于是亚里士多德逻辑的所有定律都得到确证，而所有不正确的三段论形式都被排斥。然而，这个系统不同于亚里士多德三段论系统，因为公式（F₁）是假的，如我们从以下例子中能够看出：“有些偶数可被3整除”是真的，但是不论是“所有偶数都可以被3整除”还是“凡被3整除的数都是偶数”都不是真的。

从这个考虑可以得出结论，我们的公理和规则的系统不是范畴的（Categorical） ^[10] ，即并非我们系统的任何解释都确证并否证（Ｖerify and falsify）同一个公式或者都是同构的（isomorphic）。刚才说明的这一解释确证了（F₁），而（F₁）是没有被亚里士多德逻辑确证的。所以，对于作出亚里士多德逻辑的全面和精确的描述来说，我们的公理和规则系统是不充分的。

为了排除这个困难，我们可以把表达式（F₁）作为公理来排斥。但是这个药方是否有效，也还是个疑问；还可以有其它的与（F₁）同一类的公式，甚至无数的这种公式。问题是要为亚里士多德三段论系统找到一个公理和规则的系统，使得对于该三段论系统来说，我们能够判定所给出的其中任何有意义的表达式是否应被断定或被排斥。这个最重要的判定问题将于下一章讨论。（卢卡西维茨）

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[1] 斯多亚派用一个词οὐχί（即“非”、“不”。——译者注）表示命题的否定。

[2] 例如，见卢卡西维茨与塔斯基：“关于命题演算的研究”，《华沙科学与文学学会会刊》xxiii卷（1930年），第Ⅲ类，第31—32页。

[3] 第一次发表于用波兰文写的“论数理逻辑的重要性与必要性”《波兰科学》（Nauka polska）卷X，华沙（1929年），第610—612页。又参见本书注所引用德文写的论文：命题6，第35页。

[4] 参看本书注所引用的我的论文。

[5] 西塞罗，《学院研究前篇》，ii.95，“辩论术的基础乃是所有的陈述（他们称之为ἀξίωμα）或者是真的，或者是假的”；《论命运，21》“这样，克里西普斯集中全力于这个论证，即所有ἀξίωμα或者是真的或者是假的”。在斯多亚派的术语中，ἀξίωμα的意思是“命题”而不是“公理”。

[6] 塞克斯都·恩披里可，《反数学家》，viii.113，“菲罗说蕴涵式成为真的，当其并非前件真而后件假时，所以蕴涵式本身在三种情况下是真的，而在一种情况下是假的。”

[7] 在1929年出版的我的波兰文教科书《数理逻辑初步》（Elements of mathematical logic）（见第68页，注③）中，我第一次表明已知的三段论的断定命题怎样可以从公理1—4形式地推出（第180—190页）。在上述教科书中说明的方法，由I.M.波亨斯基教授在他的论文“论直言三段论”中稍作修改后加以采纳。见《多明尼卡研究》（Dominican studies）卷i，牛津,1948年版。

[8] 我把这个区别归功于弗朗茨·布伦塔诺（Franz Brentano），他把信赖的活动描述为承认（anerkennen）与排斥（verwerfen）。

[9] 见第20节。

[10] 一公理系统是范畴的，如果它具有一个模型，而且它的一切模型是彼此同构的。一个公理系统的两个模型称之为同构的，如果在这两个模型中所使用的个体的两个域之间有着一一对应的关系。参看阿隆若·丘尔其：《数理逻辑导论》（Alonzo Church：Introduction to mathematical Logic），1956年版，卷1，第329—330页。——译者注