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导读 2023年3月14日国际数学日，官方在线直播庆典中分享了4位2022年菲尔兹奖得主寄语视频。下面是zzllrr小乐从中文字幕中，提取的文字版，加以整理以飨读者（因为图片文字比视频更适合安静阅读和深度思考） （需要视频的读者，请参阅小乐数学科普：2023-3-14第4个国际数学日联合国教科文组织庆祝日程及资源）
（1）我如何成为一名数学家 Maryna Viazovska 玛丽娜·维亚佐夫斯卡，乌克兰 洛桑联邦理工学院（EPFL）
我的名字叫玛丽娜·维亚佐夫斯卡，是一位数论学家。我现在在洛桑联邦理工学院专门研究数学，特别是数论。 我在基辅出生，在那里长大，度过非常快乐的童年。和两个姊妹一起长大。小时候在基辅上学读书，国小一年级的时候，我就意识到我喜欢数学。那时候的我学习阅读写作和计数等基础能力。计数是我最喜欢的。我在一条既定的轨道上前进，所以我的求学历程非常平凡。
而当我在中学时，我从一所普通学校转学到了一所专门学校，学习物理和数学的学校。我非常喜欢这些科目，所以高中毕业后，我决定继续学习数学。因此，据我所知，我是家族中唯一的数学家，不过，我的父母和祖父母都是化学家。因此，对自然科学的热爱，已经存在于我的血液里。 但是，不幸的是，当我开始在学校学习化学时，我意识到我不喜欢化学，没办法！我非常幸运有这些老师，幸运从小学一年级就开始。我遇到了适合我的老师，对于学习来说，我认为老师的个性是非常重要的。记得我的一年级老师，她是一个非常严格的女老师，然后我的第一位数学老师，也是一个超级严格的女老师，但不知怎么的，她们能够认同我，这就是我喜欢的原因，因为她们的内心，其实是非常善良的人，非常关心她们的学生。我也在学习时遇到了，很多特别的老师，尤其是在我学习物理和数学的高中时期。这些老师对他们的学科非常热情，也非常热衷于教学。我认为这是我生命中非常重要的一个阶段，这个时期我真正意识到数学是非常美丽的。要学好它，需要很多时间和努力，但是这一切都是值得的。
我的学习从乌克兰开始，然后搬到了德国。我认为对于学生和年轻科学家来说旅行相当重要。因为世界上也许有，但一定很少有一个地方可以学习到任何一种数学。通常来说，重要的是，去另一个地方获得另一种经验，将自己沉浸于其他类型的研究之中。而不同国家的学术文化也略有不同。因此，在这方面，我认为旅行确实能够，给年轻人带来很多。它有助于成长。也许旅行中最令人兴奋的是相遇。遇见更多志同道合的人。 在德国之后，我来到了瑞士的洛桑联邦理工学院。是的，也许在这里我已经升格成为一名教授。但我很高兴有机会在这个美丽的校园工作。真的，很高兴。洛桑联邦理工学院正在快速发展，能够成为其中一员，并参与一些影响这个地方未来的决策。这是一个很棒的机会。我希望，未来跟随它会变得，越来越令人振奋。我正热切期待着，看看等待着我们的是什么。我现在洛桑联邦理工学院教书，也许是学生说我是否是好老师的时间了。我会尽力扮演好这个角色！
此外，我注意到年龄的增长。或实际上当我自己成为学生时，我开始在不同的层次上进行教学。比方说，当我在基辅大学读书时，我在学校号召一些同好组织了自己的数学圈。但我认为当时实际上，我更有兴趣独自解决数学问题。我觉得随着年纪增长，开始了解到，对学生们感兴趣也是非常重要的。
我不觉得自己很严格。是的！有时我对某些话题会有点兴奋，然后可能会把事情搞得太过复杂了。对学生来说，可能太过头了。没错！在某种程度上，老师和学生之间的区别当然存在。但在数学上每个人都是平等的。所以也许最好的经验是，我们可以忘记我们是学生和老师，只是单纯地讨论数学。每当这种情况发生时，我通常会感到非常非常开心。当我可以从我的学生那里学到一些东西时，那是最令人兴奋的时刻。我希望至少在这里能做对一些事情。
所以，我在从事数论的研究工作，可能是数论中最靠近几何和几何优化的一个角落。因此，我可以试着回答一些问题。例如，什么是某种类型的最佳几何配置。通常来说，我感兴趣的问题是当解决这个问题时，也涉及一些有趣的数论结构性问题。这种情况的一个很好的例子是，在低维度的球体填充问题中，它的答案可以从有趣的代数或数论结构中得到。我们想知道更深入，为什么会这样呢？而且一般来说，我从事于自守形式的理论。它们是函数，具有良好解析特性，且具有许多对称性的函数。它们的研究成为一个非常丰富的主题。不同领域的数学相互结合，代数，分析，几何，拓扑...交互作用。 我也认为自己是解决问题者，所以我喜欢解决特定问题，并开始建立理论。不是为了理论本身，而是出于解决特定谜题的渴望。有时候，数学家能给出问题的完整答案，是需要有一点运气的。对我来说，也许也是如此。我解决过最出名的问题是八维和二十四维的球体堆叠问题。
我的儿子现在14岁，我不确定他是否喜爱数学，因为他看起来更感兴趣的是写程序。但我们经常和他讨论数学，因为现在他已经到了那个年龄，适合开始学习有趣的东西了。而且我也希望，他某个时候会喜欢数学。但我的女儿还太小了，她才刚学会了数数字，一二三四...。我的对年轻女孩的建议和对年轻男孩的一样。 而我深信数学是不分男女的，就只是数学。我们都只是数学家，好奇而聪明的生物，试图揭示其深层奥秘。在这里，性别、国籍或种族也好，不应该扮演任何角色。 也许给年轻人的一个信息是，不要害怕数学，毕竟数学根源于常识。因此，如果你有直觉思考的能力，那么你就有做数学的能力。而且，如果你认为数学是美丽的，如果你对它有爱，那就去做吧，去学习！ 我相信这将会带来一些好的结果，即使你没有打算成为一个数学家，我仍认为这将会是有用的令人兴奋和有趣的事。会梦到数学吗？有时候会。但当那种情况发生时，也许就是我需要休息的时候到了。 （2）质数的乐趣和神秘！ James Maynard 詹姆斯·梅纳德，英国 牛津大学
大家好，我是詹姆斯·梅纳德！ 很高兴能和大家一起度过国际数学日。 今年国际数学日的主题是，给每个人的数学。我非常赞同这一点！我要说的是，你们应该尝试寻找数学的乐趣。数学绝对是一门美丽而迷人的学科，但不幸的是，有时候人们会失去数学的乐趣和可玩性。而这些正是我如此喜爱数学的原因。 无论你是第一次在学校学习数学，还是一位职业研究数学家。我认为总是保持一种玩的态度，并且用心去探索，是非常重要的。追随你的兴趣，并在你所思考的任何数学想法中找到乐趣。这不仅会让你在学习时，更加愉悦，而且我认为真正理解所学内容，游戏其中，并对你所处理的事物有感觉，是非常重要的。 我认为这真的使我受益终身。我记得当我第一次在学校学习数学时，我一直对老师所教授的内容，非常感兴趣。当我有一些空闲时间，想花费在思考数学上时，我没有尝试加速学习课程。相反地，我花了一些时间玩弄学习乘法表时学到的东西。我会查看这些乘法表，尝试发现其中的数字模式。我认为这对我的整个职业生涯都有很大的益处。现在，我在研究时也经常花费时间做同样的事——寻找数学中的规律，并且尝试理解这些规律背后的原因。
你可以在日常生活中，找到许多数学的乐趣。例如，这是我儿子的一个玩具，我非常喜欢它。有时当他睡觉时，我会拿来玩。嘘~ 别跟他说！ 这是一个简单的专门设计给儿童的玩具，但你可以从许多不同的数学角度来看它。你可以把这些球想像成是顶点，然后，它们实际上形成了一个二十面体的顶点。或者你可以想想这些活动部件。有趣的是，你可以尽情地玩弄它们，看看我们需要以什么角度倾斜物体，才能使球开始移动。这可以看作是重力和摩擦力之间，交互作用的简单应用。此外，弹性会迫使整个形状回到这个近似二十面体。这可以被视为，一个能量最小化的过程。许多像这样的物理优化过程，在自然界中自动发生。但它们在数学上仍然非常神秘和难以理解。因此，即使只是简单的儿童玩具，也可以有许多不同的解释，和不同的方式让你找到乐趣。每一个都会产生真正的数学和其后续的影响。 对我个人来说，我非常喜欢数字。我正在研究数字当你把它们相加和相乘时，如何相互作用。而且，有点令人惊讶和尴尬的是，对这些基本的加法和乘法运算，我们其实不是很理解。例如，素数是数学中非常重要的概念之一。这个概念与我的研究领域和兴趣非常相近。素数是指不能被写成两个更小的正整数相乘的整数。例如，6 就不是素数。因为6可以写成2乘3，且2和3都比6小。5就是一个素数，因为写5的唯二方法，是用1乘5，或5乘1，都会用到不比5小的数字，所以5是一个素数。事实上，任何整数都可以写成，素数的乘积。因此可以将任何整数拆分成关于素数的问题。素数包含了许多关于乘法的复杂性。尽管素数是数学中的基本构建块，但在数学上，人们对它们的了解仍然惊人的不足。
著名的数学家高斯，在16岁时做的一件事是，查看数字表找出其中的素数，并尝试在这些数字中寻找模式。他曾经做出一个非常著名的猜想，关于素数在数线（数轴）上有多频繁出现。对高斯猜想的不同解释，与素数定理密切相关。这是数学中的一个亮点。而黎曼假设通常被认为是，最著名的数学问题。我也喜欢看数字表格，单纯地找出哪些是素数，并试图找出素数的规律。当我还是一名高中生时，我就喜欢做这件事。 虽然现在我的研究，使用了更多的理论工具，但仍然在尝试寻找这些素数的规律。例如，一个让我着迷的问题，基本上贯穿了我整个的数学生涯。就是关于素数之间能多接近的问题。如果你开始观察素数，你很快就会发现2和3，是唯一相邻的素数。这是因为2是唯一的偶素数。而2和3相差1。这就是为什么有些人称2为最奇怪的素数。但如果只考虑相差1的情况那就太狭隘了。当两个素数相差2时，它们会出现在哪里？例如，3和5是相差2的两个素数，5和7也是，11和13，17和19也是如此。当你看越来越大的数字时，这种情况变得越来越少。但你仍然会发现很多相差正好2的素数对。数学家相信，应该有无限多对这样的孪生素数，相差正好2。不论你从数字线的哪个位置开始，都可以找到很多这些距离非常接近的素数。它们非常非常接近。这仍然是一个非常著名且尚未解决的问题，即便我们已经研究了数百年。这被称为著名的孪生素数猜想。这是一个我觉得很迷人且在我的职业生涯中一直在思考的问题。 因此，你可以看到，这些非常简单的任务，经常可以非常有趣，比如查看数字表，尝试找出哪些是素数，尝试发现模式，拥有一颗好奇但感兴趣的心，就可以变成像黎曼假设和孪生素数猜想，这样的著名研究问题。这些问题至今仍然没有被解决，这些简单的问题引发了非常深刻的思想。这也是我发现素数如此神秘和迷人的原因。素数在数学中也是一门引人入胜的主题。不论你对什么有兴趣或是什么程度都没有关系。我非常鼓励你花点时间，独自思考任何你感兴趣的数学想法，并尝试操作相关的物件。这绝对是我知道的最好方法，来理解正在发生的事情。同时，这也是我知道的最好方法之一，可以让你享受你正在做的事情。 我很幸运出生在一个鼓励我，探索自己兴趣的家庭。但我的家庭并不是一个数学家庭，我不太一样。但我认为这在我的整个职业生涯中非常有用。这让我更加享受所有事情。但我总是以一种好奇、有趣的态度，来接近数学。我总是尝试在我所做的一切中找到乐趣！ （3）数学吸引力 Hugo Duminil-Copin 雨果·杜米尼尔-柯平，法国 日内瓦大学和科学高等研究所
Hello 大家好，很高兴今天和各位一起庆祝国际数学日！ 我要和各位分享一些，关于我日常生活中所做的事情。 我是一位在日内瓦大学的数学家，也在位于巴黎的法国高等科学研究院工作，我非常喜爱数学。我想要分享的是，我的研究领域的故事。我会以实验开始说起，因为有时数学也是具体的。 这是一个与所谓的『相变』有关的实验。就是关于物质突然的行为改变。例如当我们加热一个磁铁，你会看到在所谓的临界温度下，发生了某些特殊的事情。临界温度下的磁铁会变成不是磁铁。它将不再被金属吸引。这时候，你可能会有点怀疑你看到的事。它越来越热持续升温，当磁铁变得足够热时，它就会掉下来因为不再有吸引力。这是一个在某个特定温度下，停止成为磁铁的磁铁。 我试图做的是，用数学做出上述行为的解释。用数学说明突然转变的磁性行为。我要使用的数学工具有点特别。透过这个游戏来向你介绍。这个游戏每个人都可以玩，有时候数学就是这么简单，不需要太多的工具或其他东西。我们只需要一张纸和两支彩色铅笔，就可以玩以下的游戏：
在这张纸上，我们画出一个，所谓的蜂巢网格的桌游，类似刚才看到的棋盘。有两个玩家，一个是蓝色的，一个是黄色的。蓝色玩家会在一个六边形上色，然后黄色玩家在另一个六边形涂色，轮流进行。两位玩家会有各自不同的目标进行游戏。蓝色的玩家必须藉由涂色从底部连出一条蓝色路径，直达顶端就获胜了。而黄色玩家必须从左边连出一条黄色的路径通到右边，轮流进行游戏，直到其中一位玩家达成了自己的目标。例如蓝色玩家完成了上下的蓝色连线，并没有一定要涂相邻的区域。你可以跳着涂任意的区域，蓝色玩家的策略是创建一条往下的蓝色路径。黄色玩家的策略则是去阻挡它。为了节省时间我切掉游戏中间进行的过程，直接来看看游戏最后的局势如何。结果如你所见，蓝色玩家打算从右下角的六边形，一路连线达到上方的阵地，我们可以看到一条完整的蓝色路线。所以蓝色玩家赢了，这场比赛黄色输了。你可以玩玩看一定会觉得很有趣。作为先手的蓝色玩家，第一步怎么涂色就像一个大冒险是个很有趣的挑战。我鼓励大家试着约朋友们一起玩，并且在玩的时候可以思考这个问题：『如何做是最好的策略？』一边玩一边观察试着寻找解答。
现在我要稍微改变一下规则，连结到我正在研究的数学问题，渗流理论(Percolation)。这里的游戏规则如下，我们使用相同的游戏棋盘，但我们改抛硬币决定。事实上，对于每一格我们抛硬币决定颜色。如果是字(反面)，我们就用蓝色来填满这格。如果是人头(正面)就用黄色来填满。我先选一个格子，然后抛硬币，出现字(反面)，所以就用蓝色来填满这格。选另一格，再抛硬币，又出现字(反面)所以就用蓝色来填满这格。第三格，这次是黄色的，因为是人头。一直这样做直到我填满整个棋盘才停止。问题来了，颜色是抛硬币决定的，是随机形成的，『会形成一条蓝色的路径吗？』。『或者说会形成一条黄色的路径吗？』这就是我的研究问题。请注意我现在拿了一个硬币，所以一个格子被涂成黄色或蓝色的概率，你认为是相同的。因为，一个公正的硬币正反两面出现的概率一样。现在想像一下稍微不一样的事情，拿另一个棋盘然后抛另一个硬币，不过这次是一枚不公正的硬币。不公正是指，人头出现的概率比较高，或者反过来，字出现的概率比较高。我要做的是进行一次数学模拟。 这是 Berglund 教授的影片，影片中展示人头出现概率变高会发生什么事。随着人头出现的概率慢慢变高，换句话说，格子涂上黄色的概率变高。一开始黄色的概率是零所以都是蓝色的，我把左边涂黄，但其他都是蓝色的。我现在增加黄色的概率，看看左边的黄色格子，最远能到达右边哪里。这次停在这里，你会发现黄色格子越多，黄色格子就越有机会走更远。突然在某一个时刻，我们就成功地从左到右连出一条黄色的路径。好的？现在我再做一次模拟，从某一点到另一点来看甚至有更多冲突。喔喔喔~ 有点小问题。我再跑一次模拟，这次更清楚因为这个棋盘更大。在这超级巨大的棋盘，我做同样的事情。增加黄色格子出现的概率，格子现在很小，小到接近一个点。此时增加黄色格子出现的概率。如你所见，得到一个很突兀的现象，只改变一点点概率，突然间状态就起了很大的变化。从黄色走到中间不是非常远的地方，一下子就变成黄色左右连线，发生的很突然，很快速。就只是些微的改变，些微地改变了黄色的概率。
因此想像你正在放大磁铁，实际上就像许多小磁铁彼此相邻在一起。这些磁铁会互相吸引或排斥。想象这些微小元素，相当规则地排列，你会得到这样的一种网格模式。这次网格的格子是正方形而不是六边形。每一小格有磁铁要嘛指向北方，或者指向南方。在我们讨论的情况中要嘛指向左边或者指向右边，你看这个例子，磁铁的右边是蓝色的，有这个磁铁。接下来我们要决定如何涂色，格子涂蓝色如果磁铁指向右边，否则的话格子涂红色。然后我们会得到，整张格子图涂了蓝色和红色。现在我做一次模拟，跟之前一样。我们可以问同样的问题：『黄色格子能走多远呢?』，或者，『黄色和蓝色的格子之间...有什么几何结构？』。现在磁铁的模型中，我们可以问的是：『红色和蓝色的格子之间...有什么几何结构？』事实上，我们在渗流现象中，可以看到类似的黄蓝几何结构。在这个连结上最终我们看到并可以解释，一个非常有趣的磁铁现象。
这就是我今天要跟各位分享的，渗流问题以及磁铁的吸引力的故事。希望藉由这几分钟，让各位感觉到数学有时候也跟画画一样，是很具象的。就我个人来说也不喜欢太抽象的感觉，我需要把玩具体的东西，帮助我去想像，去了解你们看到的这些，具有非常复杂形状的画面。当你看着这些红色蓝色等等缤纷色彩的形状，以及颜色之间那些像风一样，我们称之为分形（fractal），随机的分形，捉摸不定的轨迹潜藏着许多未知的事物，等待着我们发展出新的方法，去了解其中的秘密。进而去了解，加热磁铁到一定温度后，磁性会消失的真正原因。
这就是我在做的事情，希望你们喜欢。未来我会再见到你们之中的一些人，不论如何我认为对每一个人来说，数学都是很美好的东西。对男人、女人都是，不分种族、地域和国家。让我们利用今天这个特别的日子，向所有热爱数学的人致敬！我也祝福各位，在学习数学中找到许多乐趣。祝福你有个愉快的一天，以及充满数学愉悦的一整个礼拜!
（4）边界和关系 June E Huh 许埈珥，韩国 美国普林斯顿大学
大家好，我是数学家许埈珥！ 今天，值此2023年国际数学日之际，我要讲的主题是『边界和关系』。 当你还小的时候，是否花过一些时间浏览词典查寻单词的释义呢？现在，与其使用词典，人们更常花时间上维基百科。我不只喜欢用词典，甚至一层一层深入追究单词的含义。小时候的我把它当作一种游戏，就像今天你会在维基百科上做的那样。 现在我们用演讲标题中的两个词玩同样的游戏：『边界』和『关系』。『边界』在词典中的解释为：“某种标准所区分的事物限制”。而『关系』一词的定义为“两个或多个概念、对象或人之间关联的方式”。现在我们再从解释中选择一个词，例如，可以选用来解释“关系”的词："关联的”。再次在字典中查找「关联的」，你会发现：解释成"将两者连结在一起以建立联系"。然后再从给定的解释中选择另一个单词，例如，你可以继续在字典中查找单词「联系」的含义："通讯或会面的状态"。继续在字典中查找「通讯」："资讯传递或交换"。这样可以不断进行下去。正如你所看到的，用来定义另一个单词的单词并不一定比原单词更容易。稍微思考一下，你很快就会注意到，尽管我们拥有的单词数量非常庞大，仍是有限的。因此如果不断进行下去，假设字典解释了所有存在的单词，你必然会遇到如下的回圈：用试图定义的单词来定义同一个单词（自己解释自己）。换句话说，用逻辑语言，我们陷入了循环逻辑的循环中。你可能会认为实际上没有单词可以被真正定义。即使如此，从经验中知道我们可以用这些单词，做一些很酷的事情，并且用它们来相互沟通，在某种程度上成功地进行沟通，即使我们是从虚无中凭空召唤它们。
我对此已经好奇了一段时间，有一天我去了一家玩具店，我发现了这个东西。最近我们家老二一直在玩。你看它有12个顶点，被一个橡皮筋松散地连接在一起，有六个坚硬的杆子连接着六对顶点。然而，你会发现，实心的部分彼此不相遇且相互分离。即使如此，它们互相支撑并且形状非常稳定。它变形之后总是会回到它原本的形状，并且总是创造出一个美丽的形状：一个被赋予二十面体“意义”的东西。我们的语言获得”意义”的过程与这个结构相似，每个部分都支撑着其他部分。你看到关系在意义构建过程中的基本作用方式就是如此。也许这是我们构建意义的唯一方式。我们从数学的角度来想一下，数学似乎具有略微不同的结构，人们可能会认为数学中的所有命题，都可以从少数几个被称为『公理』的部分构建而成。这些公理可能会涉及一些未定义的基本术语。然后，用这些术语就能构建所有其它命题。因此，整个数学就像一棵大树，有数百上千的叶子和树枝，源于一个树根，看起来像一种稍微不同类型的玩具。让我试着说服你，数学实际上比你想象的要更像语言，或者是弹性灵活的二十面体。
在中学时，我学了一些叫做“普通数学”的东西。有一个单元介绍“命题”，我学到了命题之间的关系。这里最重要的一件事是，「若P，则Q。」以及它的逆命题「若非Q，则非P。」是逻辑上等价的。逻辑上等价的意思是，从数学来看，这两件事完全一样。如果一个命题是真的，那么另一个命题也是真的。如果一个命题是假的，那么另一个命题也是假的。从这个角度来看，我们所谓的“证明”就是，从我们知道为真的命题推理出真命题的过程。你可以一次又一次地重复这个过程，直到到达我们想要理解的命题，就像是开车到目的地的一段旅行。 现在我们考虑由所有可能的命题组成的空间，听起来有点像科幻小说。但我们尝试想象这个空间可能是什么样子。像大多数其他空间一样，一个重要特征是空间的形状取决于观察者是谁。对于那些知道一切的全知全能者来说（所谓上帝视角），每一个推理都很明显并且所有命题不证自明。这个空间看起来会是这样：只有两个点，我们有真命题，也有假命题。所有真命题将互相等价，所有假命题也互相等价。这个空间就只有两个点，没有任何有趣的几何形状。然而，如果从我们的已知和无知来看这个空间，可能会看到像一些有趣的形状，例如这里的每个点都是一个命题。连接命题的线条是我们的推理。这个空间看起来不同的原因是，因为对我们来说，有些命题比其他命题更容易被证明，而有些命题比其他命题更难被证明。因此，这个空间中感觉有一个几何结构，有一些点彼此更接近，而有一些点则彼此更远。
我常常想，命题空间的轮廓可能类似于宇宙那样大尺度结构的图像，看到的每一个点都是一颗星星、一个星系或一个星系团。我们一起想像一下命题空间，这里有一颗被称为「四色定理」的星。它述说所有平面图都可以使用四种颜色着色。还有另外一颗被称为「费马大定理」的星...之类的。在所有可能的命题中，特别是那些真命题中，为什么像费马大定理或四色定理这样的命题特别有趣呢？这是因为这些命题，揭示了这个空间的复杂几何结构。考虑一个非常困难的命题，如黎曼猜想。有些人说黎曼猜想的真假很重要，因为它跟网络银行系统的安全有关。但我认为它之所以重要是基于其他理由。这些困难而伟大的定理和猜想，有助于更好地理解这个空间的几何结构。我认为这有助于揭示整个结构的样貌。像四色定理和费马大定理这样的命题很容易陈述，却很难证明。这些凸显出似乎非常靠近我们所站的位置，但实际上很难到达的点，揭示了我们所在之处，与命题所在之处之间的障碍，一个隐藏在我们的思想中的几何结构。也许这与孩子们一遍又一遍地问为什么，有相似之处。可能他们更感兴趣的是探索关系，而不是接受一堆事实。因为最终赋予任何事物意义的是关系。
现在让我们来思考『边界』，回到它的释义：区分事物的限度。思考一下，这不就是建立关系的先决条件吗？为了有你和我之间的关系必须有你和我之间的边界，因为那才能创造你和我之间的区别。让我们谈谈数学中最著名的边界之一，有一个称之为「离散」的概念，和一个称之为「连续」的概念。例如，「组合数学」和「代数学」是离散数学，而「分析学」和「几何学」是连续数学。许多文化在离散和连续之间画出清晰直观的界线。例如，在英语中“object”这个可数的名词被认为是离散的，而“water”这样不可数的名词被认为是连续的。这在文法上被区分两个类别。物理学家谈到了粒子和波之间的二元性（波粒二象性），也是一种离散和连续的分界。 尽管所有边界都是必要的，有时候穿越边界比巩固边界更重要。例如，如果你想找到一个复杂区块的面积，一种非常好的方法是将区块切成相等面积的小部分并计算它们的数量。因为数数是对我们来说简单和自然的，这种切割方法，后来在积分理论的创建中扮演了重要角色。在这里，我们将一个连续的问题转化为一个离散的问题。相反地，我们也可以从离散到连续。假设拿了一大把雷根糖（Jellybeans）想知道有多少个。当然，如果你有很多耐心可以一个一个的数。通常我们都没有那么多耐心。相反地，我们本能地跨越了边界，将雷根糖看作不是离散的单独物体，而是像水一样连续的东西。我们接下来可能从某处拿杯子装满雷根糖，然后计算杯子可以装多少雷根糖。最后看看有多少个这样的杯子。换句话说，我们不是在数雷根糖的数量，而是测量雷根糖的体积。
正如我们所见，建立关系是创造意义的过程中必不可少的。但在建立关系之前，必须有明确的边界。一旦有了边界，在必要时，跨越边界是非常重要的事。这就是我们获得下一个层次的直觉的方式，建立边界和打破边界，建立关系和打破关系。一般来说，理解数学内涵的方式，可能就像螺旋式上升的无止尽循环。我想在其他知识领域中，也有类似数学这样的过程。边界和关系就像偏见和直觉，都是一体两面。我希望这种二元性的体验，对于你在数学或其他你喜欢的活动中，是一个愉快的过程。 今天就到这里了。谢谢！
参考资料
让数学更易学易练， 易教易研，易赏易玩， 易见易得，易传易及。 |
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