专题 二次函数背景下三角形问题

二次函数背景下的三角形问题，常见类型有：面积最值问题，面积之比最值问题，周长之比问题。解决这类问题的方法是：将三角形的问题转化为线段（平行于y轴）的问题，转化的手段尝尝构造相似三角形。

【分析】：将三角形的面积问题转化为线段的最值问题。

【分析】：相似三角形的周长之比等于相似比。由△PMQ∽△BEQ，将周长之比转化为线段之比（PQ:BQ），然后分别用含有t的代数式表示出PQ和BQ的长。

【分析】：△BMP与△ABM的面积之比等于PM：AM，然后构造相似三角形（△PMQ∽△NMA）得到PM：AM=PQ：AN，这样问题就转化为PQ的最值问题了。

【总结】：三角形的面积问题都可以通过某种手段将其转化为与线段有关的问题。图1中，S△BPC=2PQ，所以三角形BPC的面积最值问题就变成了线段PQ的最值问题；图2中，周长之比问题通过相似三角形转化为线段之比的问题；图3中，三角形面积之比利用面积公式先转化为线段PM与MA之比，然后再利用相似三角形将PM：AM转化为PQ：AN，最终将面积之比的最值问题转化为PQ的最值问题。