例谈切线不等式的前世今生

    纵观近年来的高考数学试题，一些函数与导数结合的高端题一般都离不开切线不等式。那么何为切线不等式？它从哪里来？如何证明它？它是怎么用？等等一连串的问题就会在我们的脑海中浮现，今天我们就来拨开开它的神秘面纱，看清它的前世今生。

• 一、切线不等式的前世——何为切线不等式

   切线不等式是数学界重要的一类不等式，它前世源于物理学研究。它能够描述和研究物体的速度，加速度，速率变化情况，也被用于求解一些复杂的数学方程。它们是拉格朗日不等式和高斯投影定理的有效工具，而且还有助于研究多参数动力学系统的特性。（修订：以下定理2应为<=号）

• 二、切线不等式的证明与变式

变式推广：

切线不等式及其推论，也可以用下图进行直观解释：

三、切线不等式的今生——在2022年高考数学试题中的应用

分析1：对于第一问，一般的解法是由导数确定函数单调性及最值，即可得解。

分析1：利用切线不等式，可以大大简化求解过程，至少减少思维量。

分析2：若按常规方法，一般是根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨论.

    从以上两例可以看出，高考数学函数试题和切线不等式及其相关不等式链有着密切的联系，在高考试题中频频考查。我们要充分理解和掌握切线不等式链的本质，领悟构造函数、利用函数的单调性建立不等关系的数学思想，这类问题便能迎刃而解。

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