李群和李代数「A Lie Group」 is a group that is also a smooth manifold. 「李群是一个群，也是一个光滑流形」。 李群的对应的集合和其上定义的二元运算构成一个群；其集合上的元素构成一个非常光滑的几何体。对于光滑流形的理解需要拓扑的知识，我们在后续分享了拓扑的基础知识之后再后头详细讲光滑流形。这里只是简单地把光滑流形理解成是非常光滑的几何体。比如圆，球，它们都是非常光滑的几何体。相反，三角形就不是一个非常光滑的几何体。 我们可以首先回顾一下什么是群。 如果一个非空集合 G 上定义了一个二元运算 ∙ ，满足如下性质：
则称 G 关于运算 ∙ 构成一个「群」（group），记为 (G,∙) ，或简记为 G 。 比如实数集合以及上的定义的二元运算**+**，也就是我们常规的标量加法，我们可以验证一下群的几个要求：
所以，我们可以称实数关于标量加法构成一个群，记做。 我们平常用到的李群都是Matrix Lie，比如我们之前已经分享过的 都是分别组成一个李群。后续还会分享的四元数和3D欧式变换也都分别组成李群。 李代数李群在单位元处的切空间里面的元素集合和一个映射一起称为「李代数」。这个映射称为李括号(Lie Bracket)， 它满足一下三个性质
对于矩阵组成的李群，我们这样定义对应的李括号 其中是李代数里面的元素。比如对于， 就是两个反对称矩阵。 比如二维平面的单位圆上的复数，在复数集合上面定义一个二元运算为为复数乘法： 我们可以验证复数集合上的这个二元运算满足群的几个要求
也就是说单位圆上的复数集合关于复数乘法这个二元运算构成一个群。 我们假设一个点在单位元上运动，角速度为，那么t时刻的角度为。t时刻的对应的复数为的导数为。它在单位元1出， 也就是单位元处的切线为。 对于切线上的任何一点，我们可以使用指数映射映射到单位元上的对应的复数。从复数到切线上的点的映射就称为对数映射，这个映射有点像下图所示
我们前面所有李群的文章都会提到指数映射和对数映射，指数映射把李代数的元素映射成李群中的元素，对数映射把李群的元素映射成李代数里面的元素。我们记为一个李群，为它对应的李代数。 因为李代数和存在一一映射，比如上面的和就存在一一映射，这个一一映射和逆映射我们表示为 我们还定义到李群元素的映射 这两个空间的转换至关重要，所以我们每一篇文章都有提到。 Adjoint李代数是李群在单位元处的切空间，那么我们就要考虑一个新的问题：「非单位圆处的切空间元素如何变换到单位元处的切空间元素」？ 假设我们现在有一个标准的三维坐标系以及一个旋转之后的坐标系如下图
虚线表示的坐标系B相对于实线表示的坐标系A有一个旋转变换 现在坐标系B有一个点，它绕B坐标系的轴旋转角度，我们记。需要注意的是的坐标是坐标系的局部坐标。旋转之后的点在坐标系B中的表达为 这个点在坐标系A中的表达为 现在考虑点P绕A坐标系的轴旋转角度，我们记。这里需要注意的是是坐标系A的坐标。要施行这个旋转，我们首先要得到点在坐标系A的表达 然后进行旋转，可以得到旋转后的点 现在我们需要两种旋转得到的点重合，也就是，那我们有下面等式 这个等式对任意点都要成立，那么我们需要下面等式一定满足 换句话说，就是 两边进行对数变换，可以得到 如果坐标系A是SO(3)在单位元处的切空间的坐标系，坐标系B是在t时刻的切空间的坐标系，我们就得到了一个t时刻的切空间到单位元处切空间(李代数)的变换。我们把这个变换称为伴随变换(adjoint)，记在李群处的伴随变换为 具有下面的性质
由于是一个线性变换，我们可以找到一个矩阵 举两个例子： 例一：对于三维旋转群，我们在图形图像中的数学-反对称矩阵中已经证明过，所以我们有 也就是 也就是说。 作用李群能给我们带来什么作用？我们在什么地方使用李群？ 比如我们要使用梯度下降方法去优化一个三维旋转矩阵R，目标函数为。我们需要求梯度，也就需要计算，但是对于旋转矩阵来说并不是一个旋转矩阵。对于旋转矩阵，对它进行一个扰动是左乘或者右乘一个。那这时候我们就可以发现李群和李代数的作用了，因为李代数是有加性的，对于一个我们加上一个微小量得到，它对应的矩阵一定是一个旋转矩阵。这样我们就可以把对矩阵9个元素的求导无缝转换到李代数里面3个元素的求导。否则即便我们算出了也只能把再进行一次投影，投影到最临近的旋转矩阵才能进行后边的运算。 很久没有更新李群的东西了，主要是没有想好怎么简洁地介绍李群和李代数。这次相当于把复杂点的流形概念先没管了。后续补上。 |
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